Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Encontre todos os números da forma aabb que são formados por quatro algarismos e que sejam quadrados perfeitos.
(Fonte: Coleção Olimpíadas de Matemática: Livro “Iniciação à Matemática: um curso com problemas e soluções”)
Solução
Supondo que o número aabb seja um quadrado perfeito, então existe um inteiro N tal que N2=aabb.
(Aqui, a notação aabb não indica um produto e sim a representação de um número com quatro algarismos no sistema decimal.)
Assim, pode-se concluir que:
N2=103⋅a+102⋅a+10⋅b+bN2=102⋅(10⋅a+a)+11⋅bN2=102⋅11⋅a+11⋅bN2=11⋅(102⋅a+b)N2=11⋅(99⋅a+a+b).
Mas note que:
(ii) Observando que aabb tem quatro algarismos, necessariamente a≠0. Portanto, a∈{1,2,3,…,9} e b∈{0,1,2,…,9}, ou seja, a+b≤18. Logo, por (i), devemos ter a+b=11.
(iii) É fato conhecido que todo número quadrado perfeito tem como algarismo das unidades 0,1,4,5,6,9; então, b∈{0,1,4,5,6,9}.
Assim, substituindo os valores de b obtidos em (iii) na igualdade a+b=11 obtida em (ii), tem-se:
- Para b=0 ou b=1, recaímos, respectivamente, em a=11 ou a=10; dois absurdos, uma vez que a é um algarismo.
- Para b=4 tem-se a=7, logo N2=aabb=7744, que é um quadrado perfeito pois 882=7744.
- Para b=5 tem-se a=6, logo N2=6655, que não é quadrado perfeito.
- Para b=6 tem-se a=5, logo N2=5566, que não é quadrado perfeito.
- Para b=9 tem-se a=2, logo N2=2299, que não é quadrado perfeito.
Portanto, existe um único quadrado perfeito da forma aabb: 7744.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.