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.Problemão: Um número quadrado perfeito

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)


Encontre todos os números da forma aabb que são formados por quatro algarismos e que sejam quadrados perfeitos.

(Fonte: Coleção Olimpíadas de Matemática: Livro “Iniciação à Matemática: um curso com problemas e soluções”)

Solução


Supondo que o número aabb seja um quadrado perfeito, então existe um inteiro N tal que N2=aabb.
(Aqui, a notação aabb não indica um produto e sim a representação de um número com quatro algarismos no sistema decimal.)
Assim, pode-se concluir que:

N2=103a+102a+10b+bN2=102(10a+a)+11bN2=10211a+11bN2=11(102a+b)N2=11(99a+a+b).

Mas note que:

(i) Como 11 é primo, perceba que 112 divide N2. Dessa forma, 11 deve ser divisor de (99a+a+b). Logo, nota-se que a parcela 99a é múltiplo de 11, fato que permite concluir que (a+b) deve também ser múltiplo de 11.

(ii) Observando que aabb tem quatro algarismos, necessariamente a0. Portanto, a{1,2,3,,9} e b{0,1,2,,9}, ou seja, a+b18. Logo, por (i), devemos ter a+b=11.

(iii) É fato conhecido que todo número quadrado perfeito tem como algarismo das unidades 0,1,4,5,6,9; então, b{0,1,4,5,6,9}.

Assim, substituindo os valores de b obtidos em (iii) na igualdade a+b=11 obtida em (ii), tem-se:

  • Para b=0 ou b=1, recaímos, respectivamente, em a=11 ou a=10; dois absurdos, uma vez que a é um algarismo.
  • Para b=4 tem-se a=7, logo N2=aabb=7744, que é um quadrado perfeito pois 882=7744.
  • Para b=5 tem-se a=6, logo N2=6655, que não é quadrado perfeito.
  • Para b=6 tem-se a=5, logo N2=5566, que não é quadrado perfeito.
  • Para b=9 tem-se a=2, logo N2=2299, que não é quadrado perfeito.

Portanto, existe um único quadrado perfeito da forma aabb: 7744.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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