.Problemão: Um número quadrado perfeito

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

Encontre todos os números da forma $aabb$ que são formados por quatro algarismos e que sejam quadrados perfeitos.

(Fonte: Coleção Olimpíadas de Matemática: Livro “Iniciação à Matemática: um curso com problemas e soluções”)

Solução

Supondo que o número $aabb$ seja um quadrado perfeito, então existe um inteiro $N$ tal que $N^2=aabb$ .
(Aqui, a notação $aabb$ não indica um produto e sim a representação de um número com quatro algarismos no sistema decimal.)
Assim, pode-se concluir que:

$\qquad N^2=10^3\cdot a+10^2\cdot a+10\cdot b+b\\ \qquad N^2=10^2\cdot (10\cdot a+a)+11\cdot b\\ \qquad N^2=10^2\cdot 11\cdot a+11\cdot b\\ \qquad N^2=11\cdot(10^2\cdot a+b)\\ \qquad N^2=11\cdot(99\cdot a+a+b).$

Mas note que:

$\textcolor{#800000}{(i)}$ Como

$11$ é primo, perceba que

$11^2$ divide

$N^2$ . Dessa forma,

$11$ deve ser divisor de

$(99\cdot a+a+b)$ . Logo, nota-se que a parcela

$99\cdot a$ é múltiplo de

$11$ , fato que permite concluir que

$(a+b)$ deve também ser múltiplo de

$11$ .

$\textcolor{#800000}{(ii)}$ Observando que $aabb$ tem quatro algarismos, necessariamente $a\ne 0$ . Portanto, $a\in \{1,2,3,…,9\} \,$ e $\, b\in \{0,1,2,…,9\}$ , ou seja, $a+b\leq18$ . Logo, por $\textcolor{#800000}{(i)}$ , devemos ter $\boxed{ \, a+b=11 \, }.$

$\textcolor{#800000}{(iii)}$ É fato conhecido que todo número quadrado perfeito tem como algarismo das unidades $0,1,4,5,6,9$ ; então, $b\in \{0,1,4,5,6,9\}$ .

Assim, substituindo os valores de $b$ obtidos em $\textcolor{#800000}{(iii)}$ na igualdade $\boxed{ \, a+b=11 \, }$ obtida em $\textcolor{#800000}{(ii)}$ , tem-se:

Para $b=0$ ou $b=1$ , recaímos, respectivamente, em $a=11$ ou $a=10$ ; dois absurdos, uma vez que $a$ é um algarismo.
Para $b=4$ tem-se $a=7$ , logo $N^2=aabb=7744$ , que é um quadrado perfeito pois $88^2=7744$ .
Para $b=5$ tem-se $a=6$ , logo $N^2=6655$ , que não é quadrado perfeito.
Para $b=6$ tem-se $a=5$ , logo $N^2=5566$ , que não é quadrado perfeito.
Para $b=9$ tem-se $a=2$ , logo $N^2=2299$ , que não é quadrado perfeito.

Portanto, existe um único quadrado perfeito da forma $aabb \,$ : $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, 7744 \, $} \,$ .

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.