Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
(ITA – 2019) Um número natural [tex]n[/tex], escrito na base [tex]10[/tex], tem seis dígitos, sendo [tex]2[/tex] o primeiro. Se movermos o dígito [tex]2[/tex] da extrema esquerda para a extrema direita, sem alterar a ordem dos dígitos intermediários, o número resultante é três vezes o número original. Determine [tex]n.[/tex]
Solução
Seja [tex]n=2abcde[/tex], com [tex]a, b, c, d, e[/tex] algarismos, o número em questão.
Pelos dados do problema, [tex]abcde2=3 \cdot 2abcde[/tex]; logo, podemos escrever:
[tex]\qquad abcde2=3 \cdot 2abcde\\
\qquad abcde0+2=3 \cdot (200000+abcde)\\
\qquad 10 \cdot abcde+2=3 \cdot (200000+abcde).[/tex]
(Antes de prosseguir, entenda que as notações [tex]2abcde[/tex] e [tex]abcde2[/tex] não indicam produtos e sim representações de números de seis algarismos no sistema decimal.)
Substituindo [tex]abcde[/tex] por [tex]y[/tex] na última equação, obtemos a seguinte sequência de equações equivalentes:
[tex]\qquad 10 \cdot y +2=3 \cdot (2 \cdot 10^5+y) \\
\qquad 10 \cdot y+2=6 \cdot 10^5+3 \cdot y \\
\qquad 7 \cdot y=600 \ 000-2 \\
\qquad y=\dfrac{599\ 998}{7}\\
\qquad y=85\ 714.\\
\, \, [/tex]
Dessa forma, [tex]abcde=85\ 714[/tex], donde [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=2abcde=285\ 714$} \, .[/tex]
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