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.Problemão: Triângulo Inscrito

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)


A curva da figura é dada pela equação y=x2+4 e o triângulo ABC é retângulo com ângulo reto no vértice C. Calcule a área deste triângulo.

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AJUDAS

(I) Caso de Semelhança A.A. (ângulo – ângulo): Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de outro triângulo, então estes triângulos são semelhantes.
(II) Em triângulos semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais.
(Há uma Sala de Ajuda sobre triângulos semelhantes no nosso Blog!)
(III) Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.

Solução 1


Seja ¯HC a altura do triângulo ABC em relação ao vértice C. A área de ABC pode ser calculada por ABHC2.

Os triângulos AHC e CHB são semelhantes por terem ângulos correspondentes iguais (caso A.A.). Assim,
HCAH=HBHC,
ou seja,

HC2=AHHB.          (1)

Como a equação da parábola pode ser escrita como y=(x2)(x+2), então segue que
y=0    (x2)(x+2)=0    x=2  ou  x=2.

Com isso podemos concluir que A=(2,0), B=(2,0) e AB=4 .

Sejam (x0,y0) as coordenadas do ponto C. Observe que y0=(x02)(x0+2) já que este ponto está sobre a parábola. Assim, HC=y0, AH=x0+2 e HB=2x0.

A igualdade (1) pode ser então escrita como
y20=(x0+2)(2x0)=(x0+2)(x02)=y0.

De acordo com a figura, y0>0, e podemos dividir os membros da última igualdade por y0.

Assim,
y0=1.

Logo, HC=y0=1 e a área do triângulo ABC será 412=2.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

 

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AJUDA

Um triângulo é retângulo se, e somente se, pode ser inscrito em uma circunferência de diâmetro igual a um de seus lados.

Solução 2


Primeiramente, observe que a equação da circunferência no plano cartesiano é x2+y2=r2, onde r é o raio da circunferência. Este fato será necessário mais adiante!

As raízes da equação x2+4=0 são x1=2 e x2=2, pois x2=4 e por conseguinte x=±2. Daí, podemos concluir que o lado AB do triângulo ABC (que está sobre o eixo x) mede 4.

Como o triângulo ABC é retângulo em C, existe uma circunferência de diâmetro AB que contém o ponto C. Como AB=4, o raio da circunferência mede 2. Usando a equação da circunferência, temos que x2+y2=22=4. Além disso, da lei da função, sabemos que y=x2+4, que é o mesmo que x2+y=4. Logo, basta resolvermos o sistema de equações:
{x2+y2=4x2+y=4y2y=0y=0 ou y=1.

Porém, para y=0 teríamos que a altura do triângulo ABC em relação à base AB é 0, absurdo! Logo, y=1, e, portanto, a área de ABC é dada por:
\qquad Área_{ABC}=\dfrac{AB\cdot y}{2}=\dfrac{4\cdot 1}{2}=2.


Solução elaborada pelo Clube Phidias.

 

Participaram da discussão os Clubes: Phidias; Sociedade dos termos variados.

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