Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Dadas 3 retas paralelas em um mesmo plano, construa um triângulo equilátero que tenha cada um dos vértices sobre cada uma delas. Justifique sua resposta.
Solução
Inicialmente, observe que para qualquer triângulo equilátero, uma rotação com centro em um dos vértices e ângulo de [tex]60^{\circ}[/tex] levará um dos outros vértices no terceiro vértice.
Sejam [tex]a,\, b, \, c\, [/tex] as três retas paralelas e seja [tex]B[/tex] um ponto arbitrário na reta [tex]b[/tex].
Rotacionamos em [tex]60^{\circ}[/tex] a reta [tex]c[/tex], em torno do ponto [tex]B[/tex]. Chamemos de [tex]c'[/tex] essa nova reta.
Se considerarmos que o terceiro vértice, digamos [tex]C[/tex], pertence à reta [tex]c[/tex], então o vértice [tex]A[/tex] do triângulo seria a interseção da reta [tex]c'[/tex] com a reta [tex]a[/tex]. Com isso, teremos dois vértices do triângulo definidos:[tex]A[/tex] e [tex]B[/tex].
Para encontrar o vértice [tex]C[/tex], de fato, basta tomar a circunferência de centro em [tex]B[/tex] e extremidade em [tex]A[/tex], já conhecidos. A interseção da circunferência construída com a reta [tex]c[/tex] definirá precisamente o ponto [tex]C[/tex], procurado, já que, nesse caso, teremos [tex]BC=BA[/tex] e com ângulo de [tex]60^{\circ}[/tex] entre esses dois lados, o que conclui a prova.
Clique em AQUI para ver a solução dinâmica.
Note, ainda, que há duas soluções possíveis de acordo com o sentido de rotação arbitrado.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube: Os Nóbregas.