.Problemão: Trabalho em grupo

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Problema
(Indicado a partir da 2ª série E. M.)

Em uma sala com

$11$ estudantes, um professor decidiu aplicar um trabalho dividindo aleatoriamente a turma em três grupos de

$3$ estudantes e um grupo de

$2$ estudantes.
Sabendo que na turma há um casal de namorados, qual é a probabilidade de que o mesmo faça o trabalho junto?

Extraído de IME.

AJUDAS

Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo: Se

uma decisão D1 puder ser tomada de $m_1$ maneiras distintas,
uma decisão D2 puder ser tomada de $m_2$ maneiras distintas,
$\cdots$
uma decisão Dk puder ser tomada de $m_k$ maneiras distintas e
todas essas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),

então o número total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas $k$ decisões é igual ao produto
$\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times \cdots \times m_k} \, .$

Princípio Aditivo: Se

uma decisão D1 puder ser tomada de $m_1$ maneiras distintas,
uma decisão D2 puder ser tomada de $m_2$ maneiras distintas e
essas duas decisões forem independentes entre si (isto é, a escolha de uma não muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),

então a quantidade de maneiras em que as $2$ decisões podem ser tomadas uma de cada vez é
$\qquad \qquad \boxed{m_1+ m_2} \, .$

A probabilidade de um evento ocorrer em um modelo com espaço amostral finito e equiprovável é calculada por:

Probabilidade $\;\;$ =	número de casos favoráveis	.
	número de casos possíveis

Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto é escolhê-los levando-se em consideração apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos é denominado uma Combinação simples. Especificamente, quando escolhemos $r$ dentre $n$ elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combinação simples de $n$ elementos tomados $r$ a $r$ .
E o legal é que, dado um conjunto finito, podemos determinar quantos agrupamentos desse tipo podemos fazer, sem que precisemos exibi-los.

O número de Combinações simples de $n$ elementos, tomados $r$ a $r$ , é denotado por $C_{n\, ,\, r}$ ou $C_n^r$ e assim definido:

$C_{n\, ,\, r}=C_n^r=\dfrac{n!}{(n-r)!\, r!} \text{, com } n,r \in\mathbb{N} \text{ e }\,0 \lt r\leqslant n$ .

Solução

Inicialmente, vamos calcular o número de maneiras de dividir esses estudantes em três grupos de

$3$ e um grupo de

$2$ :

para o primeiro grupo de três temos: $C_{11}^{3}$ opções;
para o segundo grupo de três temos: $C_{8}^{3}$ opções;
para o terceiro grupo de três temos: $C_{5}^{3}$ opções e
para o grupo de dois temos: $C_{2}^{2}$ possibilidades.

Pelo Princípio Multiplicativo, teremos $C_{11}^{3}\cdot C_{8}^{3}\cdot C_{5}^{3}\cdot C_{2}^{2}$ maneiras de formar os grupos ordenadamente. Mas perceba que essa contagem deve ser dividida por $3!$ , pois a ordem na qual escolhemos os trios não resulta em uma configuração diferente.
Assim, ficamos com $~\boxed{\dfrac{C_{11}^{3}\cdot C_{8}^{3}\cdot C_{5}^{3}\cdot C_{2}^{2}}{3!}=\dfrac{11!}{(3!)^{4}\cdot 2!}}~$ maneiras de formar os grupos.

Agora, vamos calcular o número de grupos em que o casal está junto:

1º caso:

$~\boxed{\dfrac{C_{9}^{3}\cdot C_{6}^{3}\cdot C_{3}^{3}}{3!}=\dfrac{9!}{(3!)^{4}}}~$

2º caso:

$\boxed{\dfrac{C_{9}^{3}\cdot C_{6}^{3}\cdot C_{3}^{2}}{2!}=\dfrac{9!}{(3!)^{2}\cdot (2!)^{2}}}$

Portanto, pelo Princípio Aditivo e pela definição de Probabilidade em espaços amostrais finitos e equiprováveis, a probabilidade desejada pode ser assim calculada:
$\qquad P= \dfrac{\dfrac{9!}{(3!)^{4}}+\dfrac{9!}{(3!)^{2}\cdot (2!)^{2}}}{\dfrac{11!}{(3!)^{4}\cdot 2!}}\\ \qquad P=\dfrac{\dfrac{\cancel{9!}}{(3!)^{2}\cdot\bcancel{(3!)^{2}}}+\dfrac{\cancel{9!}}{\bcancel{(3!)^{2}}\cdot (2!)^{2}}}{\dfrac{11\cdot 10\cdot\cancel{9!}}{(3!)^{2}\cdot\bcancel{(3!)^{2}}\cdot 2!}}\\ \qquad P=\dfrac{\dfrac{1}{(3!)^{2}}+\dfrac{1}{(2!)^{2}}}{\dfrac{11\cdot 10}{(3!)^{2}\cdot 2!}}=\dfrac{\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{4}}{\dfrac{110}{72}}\\ \qquad P=\dfrac{2+18}{110}=\dfrac{2}{11}.$
Assim, a probabilidade de que o casal faça o trabalho junto é, aproximadamente, $18,2\%.$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

.Problemão: Trabalho em grupo

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