Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Encontre todos os ternos [tex](x, y, z)[/tex] de números reais satisfazendo as equações
[tex]\qquad{xy=z}[/tex]
[tex]\qquad{xz=y}[/tex]
[tex]\qquad{yz=x.}[/tex]
Solução 1
Se [tex](x,y,z)[/tex] é uma solução, então, multiplicando as três equações obtemos
[tex]\qquad{(xyz)^2=xyz.}[/tex]
Como as únicas soluções da equação [tex]X^2=X[/tex] são [tex]X=0[/tex] e [tex]X=1[/tex], temos [tex]xyz=0[/tex] ou [tex]xyz=1[/tex].
Caso 1. Se [tex]xyz=0[/tex] então [tex]x=0[/tex], [tex]y=0[/tex] ou [tex]z=0[/tex]. No caso [tex]z=0[/tex] obtemos, substituindo esse valor na segunda e na terceira equação, [tex]y=0[/tex] e [tex]x=0[/tex]. Isso fornece a solução [tex](0,0,0)[/tex]. Os casos [tex]x=0[/tex] ou [tex]y=0[/tex] também levam ao terno [tex](0,0,0)[/tex]. Por verificação vemos que, de fato, este terno é uma solução para as equações.
Caso 2. Se [tex]xyz=1[/tex], então [tex]z=\frac{1}{xy}[/tex], [tex]y=\frac{1}{xz}[/tex] e [tex]x=\frac{1}{yz}[/tex]. Substituindo essas equações, respectivamente, na primeira, segunda e terceira equação do sistema, obtemos [tex]z^2=1[/tex], [tex]y^2=1[/tex] e [tex]x^2=1[/tex], ou seja, [tex]z\in \{-1,1\}[/tex], [tex]y\in \{-1,1\}[/tex] e [tex]x\in \{-1,1\}[/tex]. Como [tex]xyz=1[/tex], a quantidade de números [tex]-1[/tex] no terno [tex](x,y,z)[/tex] deve ser par. Isso leva às possibilidades:
[tex]\qquad{(-1,-1,1), \ (-1,1,-1), \ (1,-1, -1), \ (1, 1, 1).}[/tex]
Pode ser verificado diretamente nas equações que cada um destes ternos é uma solução. Assim, as soluções do sistema são os ternos
[tex]\qquad{(0,0,0), \ (-1,-1,1), \ (-1,1,-1), \ (1,-1, -1), \ (1, 1, 1).}[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Vamos começar multiplicando todas as equações. Dessa forma, obtemos:
[tex]\qquad xy\cdot xz \cdot yz = z\cdot y \cdot x \implies (xyz)^2 =xyz.[/tex]
Muita calma nessa hora! Um passo natural seria dividir ambos os lados da equação por [tex]xyz[/tex], porém não podemos descartar a possibilidade de [tex]xyz=0[/tex]. Dessa forma, estaríamos dividindo ambos os lados por 0, absurdo! Vamos deixar a divisão de lado por enquanto. Façamos, então:
[tex]\qquad (xyz)^2 =xyz \implies (xyz)^2-xyz=0 \implies xyz\cdot (xyz-1)=0.[/tex]
Obtivemos, assim, um produto entre dois reais que resulta em [tex]0[/tex]. Existe uma propriedade bem básica, que diz que, se [tex]ab=0[/tex] são reais, então ou [tex]a=0[/tex] ou [tex]b=0[/tex] (ou ainda [tex]a=b=0[/tex], mas esse caso não se aplicará aqui, como veremos). Daí, podemos ter apenas dois casos:
Caso 1 – Quando [tex]xyz=0[/tex]: Vamos olhar para o sistema inicial. Ele nos diz que [tex]xy=z[/tex], por exemplo, e substituindo isso na equação, temos que [tex]z^2=0\implies z=0[/tex]. Analogamente, de [tex]xz=y[/tex] e [tex]yz=x[/tex], podemos concluir que a única forma de isso ser possível é se [tex]x=y=z=0[/tex].
Caso 2 – Quando [tex]xyz-1=0[/tex]: então [tex]xyz=1[/tex]. Pelo sistema, [tex]xy=z[/tex], e substituindo isso na equação, temos que [tex]z^2=1\implies z=\pm \sqrt 1=\pm 1[/tex]. O caso é análogo para [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex]. Ora, é claro que se [tex]x=y=z=1[/tex], o problema se resolve. Porém, existe ainda outro caso, quando um entre [tex]\{x,y,z\}[/tex] é igual a [tex]1[/tex] e dois deles são iguais a [tex]-1[/tex]. Isso pode ser facilmente verificado pelo sistema, pois, se [tex]x=1[/tex] e [tex]y=z=-1[/tex], então, de fato, [tex]xy=z[/tex], [tex]xz=y[/tex] e [tex]yz=x[/tex]. É fácil ver que se houverem [tex]1[/tex] ou [tex]3[/tex] entre [tex]\{x,y,z\}[/tex] que são iguais a [tex]-1[/tex], então o sistema não se verifica.
Como [tex]xyz\not = xyz-1[/tex], é impossível que ambos sejam iguais a [tex]0[/tex]. Logo, não existe um terceiro caso.
Portanto, podemos concluir que as únicas soluções [tex](x,y,z)[/tex] do sistema são: [tex](0,0,0); (1,1,1); (1,-1,-1); (-1,1,-1), (-1,-1,1)[/tex].
Solução elaborada pelo Phidas.