Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Calcule o valor da soma
[tex]\qquad {S=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{9}+\cdots+ \dfrac{1}{1296}},[/tex]
em que os denominadores são todos os divisores positivos do número [tex]1296[/tex].
Solução 1
O número [tex]1296[/tex] pode ser fatorado como [tex]2^4 \cdot 3^4[/tex]. Assim, cada divisor pode ser escrito como [tex]2^i\cdot 3^j[/tex], com [tex]i, j \in \{0, 1, 2, 3, 4\}[/tex]. Podemos reagrupar as parcelas da soma em grupos com divisores contendo a mesma potência do fator [tex]3[/tex]:
[tex]\quad \textcolor{#800000}{\bullet}[/tex] No grupo [tex]j=0[/tex], temos a soma das parcelas
[tex]\qquad\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{ 2^2}+\dfrac{1}{ 2^3}+\dfrac{1}{2^4},[/tex]
[tex]\quad \textcolor{#800000}{\bullet}[/tex] No grupo [tex]j=1[/tex], temos a soma das parcelas
[tex]\qquad\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3\cdot 2}+\dfrac{1}{ 3\cdot 2^2}+\dfrac{1}{ 3\cdot 2^3}+\dfrac{1}{3\cdot 2^4}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{ 2^2}+\dfrac{1}{ 2^3}+\dfrac{1}{2^4} \right),[/tex]
[tex]\quad \textcolor{#800000}{\bullet}[/tex] No grupo [tex]j=2[/tex], temos a soma das parcelas
[tex]\qquad\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^2\cdot 2}+\dfrac{1}{ 3^2\cdot 2^2}+\dfrac{1}{ 3^2\cdot 2^3}+\dfrac{1}{3^2\cdot 2^4}=\dfrac{1}{3^2}\left(\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{ 2^2}+\dfrac{1}{ 2^3}+\dfrac{1}{2^4} \right),[/tex]
[tex]\quad \textcolor{#800000}{\bullet}[/tex] No grupo [tex]j=3[/tex], temos a soma das parcelas
[tex]\qquad\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{3^3\cdot 2}+\dfrac{1}{ 3^3\cdot 2^2}+\dfrac{1}{ 3^3\cdot 2^3}+\dfrac{1}{3^3\cdot 2^4}=\dfrac{1}{3^3}\left(\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{ 2^2}+\dfrac{1}{ 2^3}+\dfrac{1}{2^4} \right),[/tex]
[tex]\quad \textcolor{#800000}{\bullet}[/tex] No grupo [tex]j=4[/tex], temos a soma das parcelas
[tex]\qquad\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{3^4\cdot 2}+\dfrac{1}{ 3^4\cdot 2^2}+\dfrac{1}{ 3^4\cdot 2^3}+\dfrac{1}{3^4\cdot 2^4}=\dfrac{1}{3^4}\left(\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{ 2^2}+\dfrac{1}{ 2^3}+\dfrac{1}{2^4} \right).[/tex]
Observe agora que
[tex]\qquad\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{ 2^2}+\dfrac{1}{ 2^3}+\dfrac{1}{2^4}[/tex]
é uma P.G. de [tex]5[/tex] termos com primeiro termo igual a [tex]1[/tex] e razão igual a [tex]\dfrac{1}{2}[/tex].
Usando a fórmula para a soma dos termos de uma P.G., o valor desta soma é
[tex]\qquad\dfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^5}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{1-\frac{1}{32}}{\frac{1}{2}}=\frac{31}{16}.[/tex]
Portanto,
[tex]\qquad S=\left(1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{3^4}\right)\cdot \dfrac{31}{16}[/tex].
Novamente, com o uso da fórmula para a soma dos termos de uma P.G. podemos calcular
[tex]\qquad 1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{3^4}=\dfrac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^5}{1-\frac{1}{3}}=\dfrac{1-\frac{1}{243}}{\frac{2}{3}}=\dfrac{121}{81}[/tex].
Finalmente,
[tex]\qquad S=\frac{31}{16} \cdot \frac{121}{81}\approx 2,8943.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Primeiramente, fatoramos o número [tex]1296,[/tex] encontrando [tex]2^4\cdot3^4[/tex]. A partir disso, podemos encontrar todos os divisores de [tex]1296[/tex], ou seja,
[tex]\qquad D(1296)=\{1,2,3,4,6,8,9,12,…,324,432,648,1296\}.[/tex]
Perceba que, para calcular a soma
[tex]\qquad {S=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{9}+\cdots+ \dfrac{1}{1296}},[/tex]
devemos encontrar o mínimo múltiplo comum dos denominadores.
Como [tex]1296[/tex] é múltiplo comum a todos os seus divisores, ele pode ser o novo denominador. Ou seja,
[tex]\qquad \dfrac{1}{1}=\dfrac{1296}{1296}[/tex], [tex]\dfrac{1}{2}=\dfrac{648}{1296}[/tex], [tex]\dfrac{1}{3}=\dfrac{432}{1296}[/tex], [tex]\dfrac{1}{4}=\dfrac{324}{1296}[/tex], e assim sucessivamente.
Logo,
[tex]\qquad S=\dfrac{1296}{1296}+\dfrac{648}{1296}+\dfrac{432}{1296}+\dfrac{324}{1296}+\cdots+\dfrac{1}{1296}. [/tex]
Mas, [tex]1296+648+432+324+\cdots+1[/tex] é a soma dos divisores de [tex]1296[/tex], que é equivalente a [tex]3751[/tex].
Portanto, a soma dos inversos dos divisores de [tex]1296[/tex] é [tex]\dfrac{3751}{1296}[/tex].
Solução elaborada pelo COM RhoZeta, com contribuições dos moderadores do Blog.