Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Dados [tex]x, y \in \mathbb{R}[/tex] tais que [tex]x^2y^2+x^2+9y^2-8xy+1=0[/tex], calcule o valor de [tex]x^2+y^2[/tex].
Adaptado de Instagram Mathceyhun.
Solução
Na expressão [tex]x^2y^2+x^2+9y^2-8xy+1=0[/tex], vamos escrever o termo [tex]-8xy [/tex] como [tex]-2xy -6xy[/tex]. Assim, temos:
[tex]\qquad x^2y^2-2xy+1+x^2-6xy+9y^2=0 \iff (xy-1)^2+(x-3y)^2=0[/tex].
Encontramos a soma de dois quadrados. Por outro lado, o quadrado de um número real é sempre maior ou igual a zero. Para que a soma seja zero, portanto, devemos ter ambos os quadrados iguais a zero. Logo:
[tex]\qquad (xy-1)^2=0 \Rightarrow xy=1 \qquad (I)[/tex]
[tex]\qquad (x-3y)^2=0 \Rightarrow x=3y \qquad (II)[/tex].
Substituindo [tex](II)[/tex] em [tex](I)[/tex], resulta:
[tex]\qquad 3y \cdot y=1[/tex], ou seja, [tex] y^2=\dfrac{1}{3}[/tex], e de [tex]x=3y[/tex] vem [tex]x^2=9y^2=9 \cdot \dfrac{1}{3}=3[/tex].
Finalmente, [tex]x^2+y^2=3+\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.