.Problemão: Soma de Quadrados

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

Dados $x, y \in \mathbb{R}$ tais que $x^2y^2+x^2+9y^2-8xy+1=0$, calcule o valor de $x^2+y^2$.

Adaptado de Instagram Mathceyhun.

Solução

Na expressão $x^2y^2+x^2+9y^2-8xy+1=0$, vamos escrever o termo $-8xy$ como $-2xy -6xy$. Assim, temos:
$\qquad x^2y^2-2xy+1+x^2-6xy+9y^2=0 \iff (xy-1)^2+(x-3y)^2=0$.

Encontramos a soma de dois quadrados. Por outro lado, o quadrado de um número real é sempre maior ou igual a zero. Para que a soma seja zero, portanto, devemos ter ambos os quadrados iguais a zero. Logo:
$\qquad (xy-1)^2=0 \Rightarrow xy=1 \qquad (I)$
$\qquad (x-3y)^2=0 \Rightarrow x=3y \qquad (II)$.

Substituindo $(II)$ em $(I)$, resulta:
$\qquad 3y \cdot y=1$, ou seja, $y^2=\dfrac{1}{3}$, e de $x=3y$ vem $x^2=9y^2=9 \cdot \dfrac{1}{3}=3$.

Finalmente, $x^2+y^2=3+\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}$.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.