Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(ARGENTINA) Determinar todas as soluções reais da equação
[tex]\qquad\qquad \dfrac{x^2}{x-1}+\sqrt{x-1}+\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^2}=\dfrac{x-1}{x^2}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{x-1}}.[/tex]
Solução
Fazendo [tex]\,\boxed{ x^2=y}\, [/tex] e [tex]\,\boxed{\sqrt{x-1}=t}\, [/tex], podemos reescrever a equação dada como
[tex]\qquad \dfrac{y}{t^2}+t+\dfrac{t}{y}=\dfrac{t^2}{y}+\dfrac{1}{t}+\dfrac{y}{t} [/tex]
ou ainda
[tex]\qquad y^2(1-t)+y(t^3-t)+t^3-t^4=0 [/tex].
Observe que obtivemos uma equação do segundo grau em [tex]y[/tex]:
[tex]\qquad (1-t)y^2+(t^3-t)y+(t^3-t^4)=0.\quad [/tex] (equação 1)
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Você deve estar acostumado a reconhecer uma equação do segundo grau em [tex]y[/tex] como uma equação da forma [tex]\, ay^2+by+c=0[/tex], com [tex]a\ne 0[/tex], não é? |
Existem duas relações notáveis entre as raízes e os coeficientes de uma equação do segundo grau. Você não se lembra?
Não faz mal, veja AQUI; por ora, vamos relembrar essas relações:
Se [tex]y_1[/tex] e [tex]y_2[/tex] são as raízes da equação do segundo grau [tex]\, ay^2+by+c=0[/tex], então:
[tex]\qquad \qquad \qquad \boxed{y_1+y_2=\dfrac{-b}{2a}}\quad [/tex] e [tex]\quad \boxed{y_1\times y_2=\dfrac{c}{2a}}\,.[/tex]
Vamos utilizar essas duas relações na discussão da equação 1.
- Note que, se [tex]t\ne1[/tex], a equação 1 é uma equação do segundo grau, logo a soma das raízes dessa equação é
[tex]\qquad\dfrac{-(t^3-t)}{1-t}=\dfrac{t-t^3}{1-t}=\dfrac{t(1-t^2)}{1-t}=\dfrac{t(1-t)(1+t)}{1-t}=\boxed{t+t^2}[/tex]
e o produto dessas raízes é
[tex]\qquad\dfrac{\, t^3-t^4}{1-t}=\dfrac{t^3(1-t)}{1-t}=\boxed{t^3}.[/tex]
Assim, as raízes da equação 1 são [tex]t[/tex] e [tex]t^2[/tex].
Analisemos as duas possibilidades, lembrando que [tex]\,\boxed{ x^2=y}\, [/tex] e [tex]\,\boxed{\sqrt{x-1}=t}\, [/tex].
i) Se [tex]y=t^2[/tex], então [tex]x^2=t^2~[/tex] e, portanto, segue que:
[tex]\qquad \qquad \sqrt{x-1}=t \\
\qquad \qquad \left(\sqrt{x-1}\right)^2=t^2 \\
\qquad \qquad x-1=x^2 \\
\qquad \qquad x^2-x+1=0.[/tex]
Mas a equação [tex] x^2-x+1=0 [/tex] não tem raízes reais; logo [tex]y=t^2[/tex] não define raízes para o nosso problema.
ii) Se [tex]y=t[/tex], então [tex]x^2=t~[/tex] e, agora, segue que:
[tex]\qquad \qquad \sqrt{x-1}=t \\
\qquad \qquad \left(\sqrt{x-1}\right)^2=t^2 \\
\qquad \qquad x-1=x^4 \\
\qquad \qquad x^4-x+1=0.[/tex]
Analisemos, então, a equação [tex] x^4+1=x[/tex].
✔ Como [tex] x^4\ge0[/tex] [tex], x^4+1\ge1[/tex], assim [tex] x\ge1[/tex].
Dessa forma, [tex]x^4\ge x^3 \ge x^2\ge x~[/tex] e [tex]~x^4+1>x^4\ge x[/tex], donde [tex]x^4+1> x[/tex].
Pelo exposto, [tex] x^4+1\ne x[/tex] e, portanto, [tex]y=t[/tex] também não define raízes para o nosso problema. - Resta, apenas, a possibilidade de [tex]t=1[/tex].
Observe que se [tex]t=1[/tex], como [tex]\sqrt{x-1}=t[/tex], então [tex](\sqrt{x-1})^2=1^2[/tex], donde [tex]x-1=1[/tex].
Assim, [tex]x=2[/tex] é a única solução da equação proposta.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .