Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Encontre uma solução para o sistema de equações:
[tex]\qquad \qquad \quad \begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=17\\
x_4+x_5+x_6+x_7=17\\
x_1+x_8+x_9+x_7=17 \end{cases} \, \, [/tex]
formada por nove números naturais distintos pertencentes ao conjunto [tex]\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}[/tex].
Solução
Este problema poderia ser resolvido por tentativas. Entretanto, antes de efetuarmos algumas tentativas, vamos somar estas três equações e obter
[tex]\qquad (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9)+x_1+x_4+x_7=51. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Como a solução deve ser composta por [tex]9[/tex] números naturais distintos pertencentes ao conjunto [tex]\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}[/tex], segue que [tex]\boxed{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9=45} \, .[/tex]
Substituindo esta informação na equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] obtemos
[tex]\qquad 45+x_1+x_4+x_7=51[/tex].
e, portanto,
[tex]\qquad x_1+x_4+x_7=6.[/tex]
Os únicos três números distintos no conjunto [tex]\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}[/tex] que somam [tex]6[/tex] são [tex]1, 2[/tex] e [tex]3[/tex]. Assim, uma possibilidade de solução seria escolher [tex]\boxed{x_1=1, x_4=2, x_7=3} \, .[/tex]
Substituindo estes valores no sistema original obtemos um novo sistema:
[tex]\qquad \begin{cases}x_2+x_3=14\\
x_5+x_6=12\\
x_8+x_9=13\end{cases}[/tex]
Agora fica bem mais fácil resolver por tentativas e erros.
Podemos ver que uma solução para este último sistema é [tex]x_2=5, x_3=9, x_5=4, x_6=8, x_8=6, x_9=7[/tex]; portanto, uma solução do sistema inicial é
[tex]\qquad \qquad \quad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_1=1, x_2=5, x_3=9, x_4=2, x_5=4, x_6=8, x_7=3, x_8=6, x_9=7$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.