Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Simplifique a expressão
[tex]A=\dfrac{1}{3log_2 1500}+\dfrac{1}{6log_3 1500}+\dfrac{1}{2log_5 1500}[/tex].
Lembretes
Para desenvolvermos a questão, é interessante relembramos algumas propriedades logarítmicas.
Para [tex]a,b,c[/tex] números reais positivos, com [tex]c\ne 1[/tex], temos:
[tex]\qquad \textcolor{#800000}{(i)} \, log_c c=1[/tex];
[tex]\qquad \textcolor{#800000}{(ii)} \, log_c(a\times b)=log_c a+log_c b [/tex];
[tex]\qquad \textcolor{#800000}{(iii)} \, n\times log_c(a)=log_c a^n [/tex];
[tex]\qquad \textcolor{#800000}{(iv)} \, log_c a=\dfrac{log_b a}{log_b c}[/tex] (Mudança de base).
Solução
Observe que, utilizando a propriedade [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex], sendo [tex]a\not=1[/tex], temos [tex]log_b a=\dfrac{log_a a}{log_a b}[/tex]. Assim, utilizando a propriedade [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], concluímos que [tex]\boxed{log_b a=\dfrac{1}{log_a b}} \, .[/tex]
A partir dessa igualdade, temos que:
- [tex]\dfrac{1}{log_2 1500}=log_{1500}2[/tex];
- [tex]\dfrac{1}{log_3 1500}=log_{1500} 3[/tex];
- [tex]\dfrac{1}{log_5 1500}=log_{1500}5[/tex].
Podemos, então, reescrever a expressão dada no problema como:
[tex]\qquad A=\dfrac{1}{3}log_{1500}2+\dfrac{1}{6}log_{1500}3+\dfrac{1}{2}log_{1500}5[/tex].
Aplicando agora as propriedades do logaritmo, temos:
[tex]\qquad \qquad \begin{align}
A&=\dfrac{1}{3}log_{1500}2+\dfrac{1}{6}log_{1500}3+\dfrac{1}{2}log_{1500}5 \\
&\stackrel{\textcolor{#800000}{(iii)}}{=}log_{1500}2^{\frac{1}{3}}+log_{1500}3^{\frac{1}{6}}+log_{1500}5^{\frac{1}{2}}\\
&\stackrel{\textcolor{#800000}{(ii)}}{=}log_{1500}(2^{\frac{1}{3}}\times 3^{\frac{1}{6}}\times5^\frac{1}{2}) \\
&=log_{1500}(2^{2}\times 3\times5^3)^\frac{1}{6}\\
&=log_{1500}(1500)^\frac{1}{6}\\
&\stackrel{\textcolor{#800000}{(iii)}}{=}\frac{1}{6}log_{1500}(1500) \\
&\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=}\frac{1}{6}\cdot 1\\
&=\frac{1}{6}.\\
\end{align}
[/tex]
Portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A=\dfrac{1}{6}$} \, .[/tex]
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