.Problemão: Segmento MC

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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Na figura abaixo, temos duas semirretas com origem em

$O$ tangentes a uma circunferência nos pontos

$A$ e

$B$ .

Calcule a medida do segmento

$\overline{MC}$ , sendo

$M$ um ponto da circunferência,

$MN=2\text{ cm}$ e

$MP=4,5\text{ cm}.$

Extraído de Geometria Plana, Professor Wilson Areias.

Lembretes e notações

(1) Ângulo Inscrito: Dizemos que um ângulo é inscrito numa circunferência se este possui vértice sobre a circunferência e lados secantes a ela. Quando isso ocorre, a medida do ângulo é igual à metade da medida angular do seu arco correspondente (Arco definido pelo ângulo na circunferência e que não contém o seu vértice.).

(2) Ângulo de segmento: Um ângulo é dito de segmento quando ele é definido por uma tangente a uma circunferência e uma secante que passa pelo ponto de tangência. Quando isso ocorre, a medida do ângulo é igual à metade da amplitude do arco delimitado pela corda.

.
(3) Notação: Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos

$A$ e

$B$ , por

$\overline {AB}$ e o seu comprimento por

$AB$ .

Solução

Inicialmente, vamos construir os segmentos

$\overline{MA}$ e

$\overline{MB}$ , a partir da figura do enunciado.

Note, pelo Lembrete 2, que o ângulo

$P\hat{A}M$ é um ângulo de segmento e possui como medida metade da medida angular do arco

$\stackrel{\frown}{AM}$ .
Já

$A\hat{B}M$ , pelo Lembrete 1, é um ângulo inscrito e também possui como medida metade da medida angular do arco

$\stackrel{\frown}{AM}$ .
Logo, esses dois ângulos são congruentes.

Analogamente, o ângulo

$N\hat{B}M$ é um ângulo de segmento e mede a metade da medida angular do arco

$\stackrel{\frown}{BM}$ e

$B\hat{A}M$ é um ângulo inscrito e também mede a metade da medida angular do arco

$\stackrel{\frown}{BM}$ .
Logo, esses dois ângulos também são congruentes.

Portanto, os triângulos

$BCM$ e

$APM$ são semelhantes, assim como os triângulos

$ACM$ e

$BNM$ .

Da semelhança entre $BCM$ e $APM$ , segue que:
$\qquad \dfrac{MC}{PM}=\dfrac{MB}{MA}\\ \qquad \dfrac{MC}{4,5}=\dfrac{MB}{MA}\,. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}$
Da semelhança entre $ACM$ e $BNM$ , vem que:
$\qquad \dfrac{MN}{MC}=\dfrac{MB}{MA}\\ \qquad \dfrac{2}{MC}=\dfrac{MB}{MA}\,. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}$