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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Na figura abaixo, temos duas semirretas com origem em O tangentes a uma circunferência nos pontos A e B.

Calcule a medida do segmento ¯MC, sendo M um ponto da circunferência, MN=2 cm e MP=4,5 cm.
Extraído de Geometria Plana, Professor Wilson Areias.

Lembretes e notações
(1) Ângulo Inscrito: Dizemos que um ângulo é inscrito numa circunferência se este possui vértice sobre a circunferência e lados secantes a ela. Quando isso ocorre, a medida do ângulo é igual à metade da medida angular do seu arco correspondente (Arco definido pelo ângulo na circunferência e que não contém o seu vértice.).

(2) Ângulo de segmento: Um ângulo é dito de segmento quando ele é definido por uma tangente a uma circunferência e uma secante que passa pelo ponto de tangência. Quando isso ocorre, a medida do ângulo é igual à metade da amplitude do arco delimitado pela corda.

(3) Notação: Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos A e B, por ¯AB e o seu comprimento por AB.
Solução
Inicialmente, vamos construir os segmentos ¯MA e ¯MB, a partir da figura do enunciado.

Note, pelo Lembrete 2, que o ângulo PˆAM é um ângulo de segmento e possui como medida metade da medida angular do arco ⌢AM.
Já AˆBM, pelo Lembrete 1, é um ângulo inscrito e também possui como medida metade da medida angular do arco ⌢AM.
Logo, esses dois ângulos são congruentes.

Analogamente, o ângulo NˆBM é um ângulo de segmento e mede a metade da medida angular do arco ⌢BM e BˆAM é um ângulo inscrito e também mede a metade da medida angular do arco ⌢BM.
Logo, esses dois ângulos também são congruentes.

Portanto, os triângulos BCM e APM são semelhantes, assim como os triângulos ACM e BNM.
- Da semelhança entre BCM e APM, segue que:
MCPM=MBMAMC4,5=MBMA.(i) - Da semelhança entre ACM e BNM, vem que:
MNMC=MBMA2MC=MBMA.(ii)
De (i) e (ii), concluímos que:
MC4,5=2MCMC2=9.
Como MC é a medida de um segmento (portanto um número positivo), temos MC=3 cm.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.