.Problemão: S-números

Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)

• [tex]N[/tex] pode ser escrito como soma de números inteiros não negativos com no máximo dois dígitos e, além disso, todos os dígitos [tex]0,1, \dots, 9[/tex] são usados exatamente uma vez para formar as parcelas da soma.

Por exemplo, [tex]99[/tex] é do tipo [tex]S[/tex], pois [tex]\boxed{99=41+23+5+6+7+8+9+0}.[/tex]
(a) Determine o menor e o maior número do tipo [tex]S[/tex].
(b) Mostre que o número [tex]306[/tex] é do tipo [tex]S[/tex] e o número [tex]100[/tex] não é do tipo [tex]S[/tex].

Solução

• o menor número do tipo [tex]S[/tex] pode ser determinado somando números com apenas um dígito, isto é,
  [tex]\qquad \boxed{0+1+2+\dots+9=45} \, .[/tex]
• o maior número do tipo [tex]S[/tex] pode ser determinado escrevendo a maior quantidade possível de números de dois dígitos e com os maiores valores possíveis na posição das dezenas. Como cada dígito deve ser usado apenas uma vez, encontramos o valor
  [tex]\qquad \boxed{94+83+72+61+50=360} [/tex]
  para o maior número do tipo [tex]S[/tex].

(b) Vamos supor inicialmente que o número [tex]306[/tex] seja do tipo [tex]S[/tex] e, a partir disso, encontrar uma representação de [tex]306[/tex] como soma de números inteiros não negativos, com no máximo dois dígitos, usando exatamente uma vez cada um dos dígitos [tex]0,1, \dots, 9[/tex].
Se [tex]306[/tex] for do tipo [tex]S[/tex] então poderá ser representado como
[tex]\qquad 306=10a+(45-a),[/tex]
sendo que [tex]a[/tex] denota a soma dos dígitos das dezenas e [tex](45-a)[/tex] é a soma dos dígitos das unidades na decomposição em soma de [tex]306[/tex]. Desta maneira,
[tex]\qquad a=\dfrac{306-45}{9}=29.[/tex]
Sabemos então que a soma dos dígitos das dezenas da decomposição em soma de [tex]306[/tex] deverá ser [tex]a=29[/tex] e a soma dos dígitos das unidades será [tex]45-a=45-29=16 \, .[/tex]
Observe que podemos escrever

• [tex]29=9+8+7+5[/tex]
• [tex]16=0+1+2+3+4+6[/tex]

e, portanto, podemos escrever, por exemplo:

[tex]\begin{array}{r l}
90&\\
81&\\
72&+\\
53&\\
4&\\
6&\\
\hline
306
\end{array}[/tex][tex]\qquad \qquad \begin{array}{r l}
91&\\
86&\\
70&+\\
54&\\
3&\\
2&\\
\hline
306
\end{array}[/tex][tex]\qquad \qquad \begin{array}{r l}
93&\\
84&\\
76&+\\
50&\\
2&\\
1&\\
\hline
306
\end{array}[/tex]

ou seja,

• [tex]306=90+81+72+53+4+6 \, [/tex],
• [tex]306=91+86+70+54+3+2 \, [/tex],
• [tex]306=93+84+76+50+2+1 \, [/tex].

Observe, também, que:
[tex]\qquad 306=360-54=94+83+72+61+50-54[/tex]
[tex]\qquad 306=94+83+72+(61-54)+50[/tex]
[tex]\qquad \boxed{306=94+83+72+(6+1)+50} \, .[/tex]
A última igualdade também caracteriza o número [tex]306[/tex] como do tipo [tex]S \, .[/tex]

(c) Utilizando a ideia do item anterior, se o número [tex]100[/tex] fosse do tipo [tex]S[/tex], então poderia ser representado na forma
[tex]\qquad 100=10b+(45-b)=9b+45=9(b+5)[/tex]
e seria um múltiplo de [tex]9[/tex].
Como [tex]100[/tex] não é múltiplo de nove, então [tex]100[/tex] não é um número do tipo [tex]S[/tex].

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