Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Uma soma de radicais simples é uma expressão da forma [tex]\boxed{\sqrt{x}+\sqrt{y}}[/tex], com [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] denotando números racionais positivos.
(a) Transforme em soma de radicais simples o número [tex]\sqrt{7+\sqrt{24}}[/tex].
(b) Mostre que não é possível transformar em soma de radicais simples o número [tex]\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex].
Solução
(a) Procuramos por dois números racionais positivos [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] tais que
[tex]\qquad \qquad \sqrt{7+\sqrt{24}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}[/tex].
Elevando ambos os membros dessa equação ao quadrado, encontramos
[tex]\qquad \qquad 7+\sqrt{24}=x+y+2\sqrt{x}\sqrt{y}=x+y+\sqrt{4xy}[/tex].
Como [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] são racionais, então segue que
[tex]\qquad \qquad \begin{cases} x+y=7\\
4xy=24\end{cases}[/tex].
Podemos isolar [tex]y=\dfrac{6}{x}[/tex] na segunda equação, substituir na primeira e obter
[tex]\qquad \qquad \quad x+\dfrac{6}{x}=7 \ \ \Longleftrightarrow \ \ x^2-7x+6=0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=6[/tex] ou [tex]x=1[/tex]
Substituindo estes valores para [tex]x[/tex] nas equações originais encontramos os pares de solução "[tex]x=6[/tex] e [tex]y=1[/tex]" ou "[tex]x=1[/tex] e [tex]y=6[/tex]". Em qualquer um dos casos,
[tex]\qquad \qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\sqrt{7+\sqrt{24}}=\sqrt{6}+\sqrt{1}=\sqrt{6}+1$} \, .[/tex]
(b) Suponhamos que existissem dois números racionais positivos [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] tais que
[tex]\qquad \qquad \sqrt{2+\sqrt{2}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}[/tex].
Então,
[tex]\qquad \qquad 2+\sqrt{2}=x+y+2\sqrt{x}\sqrt{y}=x+y+\sqrt{4xy}[/tex].
Como [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] são racionais, então segue que
[tex]\qquad \qquad \begin{cases} x+y=2\\
4xy=2 \end{cases}[/tex].
Podemos isolar [tex]y=\dfrac{1}{2x}[/tex] na segunda equação, substituir na primeira e obter
[tex]\qquad \qquad \quad x+\dfrac{1}{2x}=2 \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2x^2-4x+1=0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] ou [tex]x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex].
Mas isto é uma contradição pois supomos que [tex]x[/tex] é um número racional e os números [tex]1+\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] e [tex]1-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] não são racionais. Portanto, o número [tex]\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex] não pode ser escrito como soma de radicais simples.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.