.Problemão: Radicais

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Uma soma de radicais simples é uma expressão da forma

$\boxed{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$ , com

$x$ e

$y$ denotando números racionais positivos.
(a) Transforme em soma de radicais simples o número

$\sqrt{7+\sqrt{24}}$ .
(b) Mostre que não é possível transformar em soma de radicais simples o número

$\sqrt{2+\sqrt{2}}$ .

Solução

(a) Procuramos por dois números racionais positivos

$x$ e

$y$ tais que

$\qquad \qquad \sqrt{7+\sqrt{24}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ .
Elevando ambos os membros dessa equação ao quadrado, encontramos

$\qquad \qquad 7+\sqrt{24}=x+y+2\sqrt{x}\sqrt{y}=x+y+\sqrt{4xy}$ .
Como

$x$ e

$y$ são racionais, então segue que

$\qquad \qquad \begin{cases} x+y=7\\ 4xy=24\end{cases}$ .
Podemos isolar

$y=\dfrac{6}{x}$ na segunda equação, substituir na primeira e obter

$\qquad \qquad \quad x+\dfrac{6}{x}=7 \ \ \Longleftrightarrow \ \ x^2-7x+6=0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=6$ ou

$x=1$
Substituindo estes valores para

$x$ nas equações originais encontramos os pares de solução "

$x=6$ e

$y=1$ " ou "

$x=1$ e

$y=6$ ". Em qualquer um dos casos,

$\qquad \qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\sqrt{7+\sqrt{24}}=\sqrt{6}+\sqrt{1}=\sqrt{6}+1$} \, .$

(b) Suponhamos que existissem dois números racionais positivos $x$ e $y$ tais que
$\qquad \qquad \sqrt{2+\sqrt{2}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ .
Então,
$\qquad \qquad 2+\sqrt{2}=x+y+2\sqrt{x}\sqrt{y}=x+y+\sqrt{4xy}$ .
Como $x$ e $y$ são racionais, então segue que
$\qquad \qquad \begin{cases} x+y=2\\ 4xy=2 \end{cases}$ .
Podemos isolar $y=\dfrac{1}{2x}$ na segunda equação, substituir na primeira e obter
$\qquad \qquad \quad x+\dfrac{1}{2x}=2 \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2x^2-4x+1=0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ ou $x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Mas isto é uma contradição pois supomos que $x$ é um número racional e os números $1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ não são racionais. Portanto, o número $\sqrt{2+\sqrt{2}}$ não pode ser escrito como soma de radicais simples.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.