Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(FUVEST- Adaptado) Sabendo que o logaritmo de [tex]3[/tex] na base [tex]10[/tex] é aproximadamente [tex]0,47712[/tex], quantos algarismos possui o número [tex]3^{1000}[/tex]?
Lembrete
Dados [tex]a\gt0[/tex] e [tex]b\gt 0[/tex], com [tex]b\neq1[/tex], temos que [tex] \, \boxed{b^{\log_ba}=a}[/tex].
Solução
Sejam [tex]x[/tex] e [tex]n[/tex] dois inteiros positivos tais que [tex]n-1\le \log\;x \lt n[/tex].
Como a função definida por [tex]x[/tex][tex]\mapsto[/tex][tex]10^{x}[/tex] é crescente, podemos afirmar que:
[tex]10^{n-1}\le 10^{\log\;x} \lt 10^{n}[/tex],
assim, pelo lembrete,
[tex]10^{n-1}\le x \lt 10^{n}.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Sabemos que, na forma decimal,
[tex]10^{n}=1\underbrace{00\cdots00}_{n \, zeros}\qquad [/tex] e [tex]\qquad 10^{n-1}=1\underbrace{00\cdots00}_{n-1 \, zeros}[/tex];
e com isso observamos que
[tex]10^{n}[/tex] possui [tex]n+1[/tex] algarismos[tex]\qquad [/tex] e [tex]\qquad 10^{n-1}[/tex] possui [tex]n[/tex] algarismos.
Portanto, pela desigualdade [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]x[/tex] possui [tex]n[/tex] algarismos.
Dessa forma, concluímos que:
- se o logaritmo decimal de um número está entre os inteiros [tex]n-1[/tex] (inclusive) e [tex]n[/tex] (exclusive), então [tex]x[/tex] possui [tex]n[/tex] algarismos.[tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Façamos agora [tex]\boxed{x=3^{1000}}.[/tex] Então, segue que:
[tex]\qquad \log\;x=\log\;3^{1000}[/tex]
[tex]\qquad \log\;x=1000\cdot \log\;3[/tex]
[tex]\qquad \log\;x \approx 1000\cdot 0,47712[/tex]
[tex]\qquad \log\;x\approx 477,12[/tex].
Como [tex]477\le 477,12\lt 478[/tex], então [tex]\boxed{477\le \log\;x \lt 478}[/tex]; logo, pela afirmação [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], podemos concluir que [tex]3^{1000}[/tex] possui [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$478$} \, [/tex]algarismos.
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