Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Qual dos números é maior: [tex]5^{44}[/tex] ou [tex]4^{53}[/tex]?
Solução
Inicialmente, observe que:
- [tex]\boxed{4^{53}=\left(2^2\right)^{53}=2^{106}}[/tex].
Por outro lado, podemos escrever [tex]5^{44}[/tex] como [tex]5^{3\cdot14 +2}[/tex], pois o [tex]44[/tex] quando dividido por [tex]3[/tex] possui quociente [tex]14[/tex] e resto [tex]2[/tex]. Assim, utilizando propriedades das potências, temos que:
[tex]\qquad 5^{44}=5^{3\cdot14 +2}=5^{3\cdot14} \cdot 5^{2}=(5^{3})^{14}\cdot 25=125^{14}\cdot 25[/tex],
ou seja,
- [tex]\boxed{5^{44}=125^{14}\cdot 25}[/tex].
Agora, repare que [tex]2^{106}=2^{7\cdot 15 +1}[/tex], pois [tex]106[/tex] quando dividido por [tex]7[/tex] possui quociente [tex]15[/tex] e resto [tex]1[/tex]. Com isso, utilizando novamente as propriedades de potências, obtemos que:
[tex]\qquad 2^{106}=2^{7\cdot 15 +1}=2^{7\cdot 15} \cdot 2=(2^{7})^{15}\cdot2=128^{15}\cdot 2=128^{14}\cdot 128 \cdot 2=128^{14}\cdot256[/tex]
e, assim, [tex]2^{106}=128^{14}\cdot 256\,.[/tex]
Claramente vemos que [tex]128^{14}\textcolor{red}{\gt} 125^{14}[/tex] e que [tex]256 \textcolor{blue}{\gt} 25[/tex]; logo,
[tex]\qquad \qquad \boxed{4^{53}}=2^{106}=128^{14}\cdot256 \textcolor{red}{\gt} 125^{14}\cdot 256 \textcolor{blue}{\gt} 125^{14}\cdot25=\boxed{5^{44}}[/tex],
ou seja, [tex]4^{53}\gt5^{44}[/tex].
Portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$4^{53}$}[/tex] é o maior dentre os dois números apresentados no problema.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.