.Problemão: Quadrado perfeito (2)

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

Mostre que o número

$\underbrace {11 \dots 1}_{\substack{(n-1)\\ \text{algarismos}}}\underbrace {222 \dots 2}_{\substack{n\\ \text{algarismos}}} 5$ é um quadrado perfeito.

Solução

Observe que

$\begin{array}{r r r r r r r r r r} 1&1&\cdots &1&2&2&\cdots&2&2& \, +\\ &&&&&&&&3&\\ \hline 1&1&\cdots&1&2&2&\cdots&2& 5\\ \end{array} \quad \text{e}\quad \begin{array}{r r r r r r r r r } 1&1&\cdots&1&1&\cdots&1&1& \,\,+\\ &&&&1&\cdots&1&1\\ \hline 1&1&\cdots&1&2&\cdots&2&2\\ \end{array}$

assim, em particular, podemos escrever o número $x = \underbrace {11 \dots 1}_{\substack{(n-1)\\ \text{algarismos}}}\underbrace {222 \dots 2}_{\substack{n\\ \text{algarismos}}}5$ da seguinte forma:
$\qquad x = \underbrace {11 \dots 1}_{\substack{(n-1)\\ \text{algarismos}}}\underbrace {222 \dots 2}_{\substack{(n+1)\\ \text{algarismos}}}+3$
$\qquad x = \left(\underbrace {11 \dots 1}_{\substack{(n-1)\\ \text{algarismos}}}\underbrace {11 \dots 1}_{\substack{(n+1)\\ \text{algarismos}}}\right)+ \left(\underbrace {111 \dots 1}_{\substack{(n+1)\\ \text{algarismos}}}\right)+3$
$\qquad x = \underbrace {11 \dots 1}_{\substack{(2n)\\ \text{algarismos}}}+\underbrace {111 \dots 1}_{\substack{(n+1)\\ \text{algarismos}}}+3.$
Note que:

►

$\underbrace {111\dots 11}_{(2n)\, \text{algarismos}} = 1+10+10^{2}+10^{3}+ \cdots + 10^{2n-1}$
e
►

$\left(1\, ,\, 10\, ,\, 10^{2}\, ,\, 10^{3}\, ,\, \cdots \, ,\, 10^{2n-1}\right)$ é uma progressão geométrica de termo inicial igual a

$1$ , com

$2n$ termos e razão

$10$ ,

logo, utilizando a fórmula da soma de uma PG finita, segue que:
$\qquad \underbrace {111\dots 11}_{2n\, \text{algarismos}}=$ $1+10+10^{2}+10^{3}+ \cdots + 10^{2n-1}=\dfrac{10^{2n}-1}{9}.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}$

Analogamente, veja que:

►

$\underbrace {111 \dots 11}_{(n+1)\, \text{algarismos}}= 1+10+10^{2}+10^{3}+ \cdots + 10^{n}$
e
►

$\left(1\, ,\, 10\, ,\, 10^{2}\, ,\, 10^{3}\, ,\, \cdots \, ,\, 10^{n}\right)$ é uma progressão geométrica de termo inicial igual a

$1$ , com

$n+1$ termos e razão

$10$ ,

logo,
$\qquad \underbrace {111\dots 11}_{(n+1)\, \text{algarismos}}=$ $1+10+10^{2}+10^{3}+ \cdots + 10^{n}=\dfrac{10^{n+1}-1}{9}.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}$ .

Portanto, de $\textcolor{#800000}{(i)}$ e de $\textcolor{#800000}{(ii)}$ , segue que:

$\qquad \begin{align} x&= \dfrac{10^{2n}-1}{9}+ \dfrac{10^{n+1}-1}{9}+3\\ & =\dfrac{10^{2n}-1+10^{n+1}-1+27}{9}\\ &=\dfrac{10^{2n}+10^{n+1}+25}{9}\\ &=\dfrac{(10^{n})^{2}+10 \cdot 10^{n}+5^2}{3^2}\\ &=\dfrac{(10^{n})^{2}+2 \cdot 5 \cdot 10^{n}+5^2}{3^2}\\ &= \left(\dfrac{10^{n}+5}{3}\right)^2.\end{align}$

Finalmente, observe que $10^n$ , escrito na forma decimal, é o algarismo $1$ seguido de $n$ zeros. Portanto, a soma dos algarismos de $10^n$ vale $1$ e, consequentemente, a soma dos algarismos de $10^n+5$ é $6.$ Com isso, podemos garantir que $10^n+5$ sempre será divisível por $3$ e, consequentemente, $\dfrac{10^{n}+5}{3}$ é um número inteiro.
Portanto $x$ é, de fato, um quadrado perfeito.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.