Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Sônia, a professora de um Clube de Matemática, resolve aplicar uma prova surpresa para sua turma de [tex]10[/tex] alunos e diz que a avaliação pode ser feita individualmente ou em duplas.
De quantas formas a turma pode ser organizada para fazer a prova?
Lembrete:
Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto é escolhê-los levando-se em consideração apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos é denominado uma Combinação simples. Especificamente, quando escolhemos [tex]r[/tex] dentre [tex]n[/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combinação simples de [tex]n[/tex] elementos tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex].
E o legal é que, dado um conjunto finito, podemos determinar quantos agrupamentos desse tipo podemos fazer, sem que precisemos exibi-los.
- O número de Combinações simples de [tex]n[/tex] elementos, tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex], é denotado por [tex]C_{n\, ,\, r}[/tex] ou [tex]C_n^r[/tex] e assim definido:
[tex]C_{n\, ,\, r}=C_n^r=\dfrac{n!}{(n-r)!\, r!} \text{, com } n,r\in\mathbb{N} \text{ e }\, r\leqslant n[/tex].
O quociente [tex]\dfrac{n!}{(n-r)!\, r!}[/tex] também pode ser denotado por [tex]\dbinom{n}{r}[/tex] e nesse caso é denominado coeficiente binomial ou número binomial.
Solução 1
Vamos solucionar o problema a partir da quantidade de duplas formadas.
-
1º caso: Nenhuma dupla formada.
- Neste primeiro caso, temos somente uma maneira de organizar a turma: todos farão a prova individualmente.
- Pelo Princípio Multiplicativo, teremos [tex]45 \cdot 1=45[/tex] maneiras de organizar a turma.
- Novamente, pelo Princípio Multiplicativo, teremos [tex] \dfrac {45 \cdot 28}{2!}\cdot 1=630[/tex] maneiras de organizar a turma.
- Novamente, pelo Princípio Multiplicativo, teremos [tex] \dfrac {45 \cdot 28 \cdot 15}{3!}\cdot 1=3150[/tex] maneiras de organizar a turma.
- Novamente, pelo Princípio Multiplicativo, teremos [tex] \dfrac {45 \cdot 28 \cdot 15 \cdot 6}{4!}\cdot 1=4725[/tex] maneiras de organizar a turma.
- Portanto, teremos [tex] \dfrac {45 \cdot 28 \cdot 15 \cdot 6 \cdot 1}{5!}\cdot 1=945[/tex] maneiras de organizar a turma.
2° caso: Apenas uma dupla formada.
– O número de maneiras de escolher uma dupla em um grupo de [tex]10[/tex] pessoas é [tex]C_{10}^{2}=45[/tex].
– Os outros alunos farão a prova sozinhos, portanto há apenas um modo de organizar os que sobram.
3º caso: Duas duplas formadas.
– O número de maneiras de escolher a primeira dupla em um grupo de [tex]10[/tex] pessoas é [tex]C_{10}^{2}=45[/tex]; para a segunda teremos [tex]C_{8}^{2}=28[/tex] maneiras. Pelo Princípio Multiplicativo, teremos [tex]45 \cdot 28[/tex] possibilidades. Perceba que essa contagem deve ser dividida por [tex]2![/tex], pois a permutação das duplas não resulta em uma configuração diferente (Escolher a dupla A e a dupla B é a mesma situação de escolher a dupla B e depois a A.).
– Os outros alunos farão a prova sozinhos, portanto há apenas um modo de organizar os que sobram.
4º caso: Três duplas formadas.
– O número de maneiras de escolher a primeira dupla em um grupo de [tex]10[/tex] pessoas é [tex]C_{10}^{2}=45[/tex]; para a segunda teremos [tex]C_{8}^{2}=28[/tex] e para terceira dupla [tex]C_{6}^{2}=15[/tex]. Pelo Princípio Multiplicativo, teremos [tex]45 \cdot 28 \cdot 15[/tex] possibilidades.
Perceba que essa contagem deve ser dividida por [tex]3![/tex], pois a permutação das duplas não resulta em uma configuração diferente (mesmo motivo do caso anterior).
– Os outros alunos farão a prova sozinhos, portanto há apenas um modo de organizar os que sobram.
5º caso: Quatro duplas formadas.
– O número de maneiras de escolher a primeira dupla em um grupo de [tex]10[/tex] pessoas é [tex]C_{10}^{2}=45[/tex], para a segunda teremos [tex]C_{8}^{2}=28[/tex], para a terceira [tex]C_{6}^{2}=15[/tex] e para a quarta dupla [tex]C_{4}^{2}=6[/tex]. Pelo Princípio Multiplicativo, teremos [tex]45 \cdot 28 \cdot 15 \cdot 6[/tex] possibilidades. Perceba que essa contagem deve ser dividida por [tex]4![/tex], pelo mesmo motivo dos casos anteriores.
– Os outros alunos farão a prova sozinhos, portanto há apenas um modo de organizar os que sobram.
6º caso: Cinco duplas formadas.
– O número de maneiras de escolher a primeira dupla em um grupo de [tex]10[/tex] pessoas é [tex]C_{10}^{2}=45[/tex], para a segunda teremos [tex]C_{8}^{2}=28[/tex], para a terceira [tex]C_{6}^{2}=15[/tex], para a quarta [tex]C_{4}^{2}=6[/tex] e a quinta dupla [tex]C_{2}^{2}=1[/tex]. Pelo Princípio Multiplicativo, teremos [tex]45 \cdot 28 \cdot 15 \cdot 6 \cdot 1[/tex]. Perceba que essa contagem deve ser dividida por [tex]5![/tex], pelo mesmo motivo dos casos anteriores.
Finalmente, utilizando o Princípio Aditivo, temos
[tex]\qquad \qquad 1+45+630+3150+4725+945=9496[/tex],
ou seja, existem [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$9496$}[/tex] maneiras de organizar a turma para fazer a prova da professora Sônia.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Vamos fazer esta segunda solução utilizando Raciocínio Recursivo!
Seja [tex]a_{10}[/tex] o número de maneiras de organizar os [tex]10[/tex] alunos para a prova surpresa e suponha que [tex]X[/tex] seja um aluno dessa turma. Observe que há apenas duas situações possíveis: [tex]X[/tex] fará a prova sozinho ou [tex]X[/tex] fará a prova em dupla.
- Desta forma, podemos escrever:
[tex]a_{10}=[/tex] soluções com [tex]X[/tex] fazendo a prova sozinho [tex]+[/tex] soluções com [tex]X[/tex] fazendo a prova em dupla.
– Pela restrição imposta no enunciado, se [tex]X[/tex] fará a prova sozinho, teremos que resolver como os outros alunos ficarão distribuídos. Assim, passamos para um “novo” problema com as mesmas restrições do problema inicial, porém teremos [tex]9[/tex] alunos. Chamaremos de [tex]a_{9}[/tex] a solução do problema para [tex]9[/tex] alunos.
– Agora, se [tex]X[/tex] for realizar a prova em dupla, temos [tex]9[/tex] maneiras de escolher a sua dupla e, novamente, teremos que resolver como os outros alunos ficarão distribuídos. Assim, também chegamos a um “novo” problema com as mesmas restrições do problema inicial, porém com [tex]8[/tex] alunos. De forma análoga, chamaremos de [tex]a_{8}[/tex] a solução do problema para [tex]8[/tex] alunos.
Esse raciocínio nos mostrou que:
[tex]\qquad \qquad \boxed{a_{10}=a_{9}+9 \cdot a_{8}}[/tex].
Ou seja, a solução do problema para [tex]10[/tex] alunos é a soma das soluções para [tex]9[/tex] alunos mais nove vezes o número de soluções para [tex]8[/tex] alunos.
- Seguindo esse mesmo raciocínio, podemos generalizar essa relação para uma turma com [tex]n[/tex] alunos:
[tex]\qquad \qquad \boxed{a_{n}=a_{n-1}+(n-1) \cdot a_{n-2}}[/tex].
- Imaginemos, agora, o problema inicial com apenas um aluno na turma.
Teremos apenas uma solução. Portanto,
[tex]\qquad \qquad \boxed{a_{1}=1}[/tex]. - Se a turma estivesse com apenas [tex]2[/tex] alunos, teríamos duas soluções (ou os alunos farão a prova em dupla ou individualmente). Logo,
[tex]\qquad \qquad \boxed{a_{2}=2}[/tex]. - Pela nossa relação geral, temos que:
[tex]\qquad \qquad a_{3}=a_{2}+2 \cdot a_{1}[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{3}=2+2 \cdot 1[/tex]
[tex]\qquad \qquad \boxed{a_{3}=4}[/tex].
O resultado faz sentido, pois com [tex]3[/tex] alunos temos [tex]4[/tex] soluções ([tex]3[/tex] modos de escolhermos a dupla mais todos fazendo a prova individualmente).
Assim, podemos escrever a fórmula de recorrência completa e a sequência que nos permite responder a pergunta do problema:
[tex]\begin{cases} a_{1}=1; \\a_{2}=2;\\ a_{n}=a_{n-1}+(n-1) \cdot a_{n-2}; \text{ para }n \ge 3. \end{cases}[/tex]
Dessa fórmula, obtemos:
[tex]\qquad \qquad a_{1}=1[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{2}=2[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{3}=4[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{4}=10[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{5}=26[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{6}=76[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{7}=232[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{8}=764[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{9}=2620[/tex]
[tex]\qquad \qquad a_{10}=9496[/tex]
ou seja, existem [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$9496$}[/tex] maneiras de organizar a turma para fazer a prova da professora Sônia.
|
|
Para estudar um pouco mais sobre raciocínio recursivo, acesse a nossa Sala de Estudos Recorrências. |
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.