✏ Link do problema para dispositivos da Apple.
Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(ITA, 2021) O primeiro termo de uma progressão geométrica de números reais é [tex]1[/tex] e a soma de seus primeiros [tex]79[/tex] termos é igual ao produto de seus primeiros [tex]13[/tex] termos. Determine:
a) a soma dos [tex]40[/tex] primeiros termos;
b) o produto dos [tex]7[/tex] primeiros termos.
Lembrete
Dada uma progressão geométrica qualquer, [tex](a_1,\;a_1q, \;a_1q^2,\;\cdots,\;a_1q^{m-1}, \;\cdots),[/tex] de razão [tex]q\neq 1,[/tex] a soma [tex]S_m[/tex] dos [tex]m[/tex] primeiros termos é dada por
Solução
a) Considere [tex](a_1,\;a_1q, \;a_1q^2,\;\cdots,\;a_1q^{m-1}, \;\cdots)[/tex] a progressão geométrica (p.g.) do enunciado. Observe que [tex]q\neq 1,[/tex] pois caso contrário teríamos todos os termos dessa p.g. iguais a [tex]1[/tex], o que não pode acontecer, uma vez que a soma dos primeiros [tex]79[/tex] termos é igual ao produto dos primeiros [tex]13[/tex] termos. Assim, pelo Lembrete, temos [tex]S_{79} = \dfrac{1\cdot (q^{79}-1)}{q-1}.[/tex]
Como a soma dos primeiros [tex]79[/tex] termos é igual ao produto dos primeiros [tex]13[/tex] termos, segue que:
[tex]\qquad S_{79} = 1\cdot q\cdot q^2\cdot \cdots \cdot q^{12}\\
\qquad \dfrac{1\cdot (q^{79}-1)}{q-1} = q^{1+2+\cdots+12}\\
\qquad \dfrac{q^{79}-1}{q-1} = q^{78}\\
\qquad q^{79}-1 = q^{78}(q-1)\\
\qquad q^{79}-1 = q^{79}-q^{78}\\
\qquad q^{78} = 1\\
\qquad q = \pm 1.[/tex]
Como já vimos acima que [tex]q\neq 1[/tex], então devemos ter [tex]q=-1[/tex] e, portanto,
[tex]\qquad S_{40} = \dfrac{1\cdot \left((-1)^{40}-1\right)}{-1-1}\\
\qquad S_{40} = \dfrac{0}{-2}\\
\qquad \boxed{S_{40} = 0}.[/tex]
b) O produto dos [tex]7[/tex] primeiros termos é
[tex]\qquad 1\cdot(-1)\cdot 1\cdot(-1)\cdot 1\cdot(-1)\cdot 1 = \boxed{-1}.[/tex]
Observação: Pelo fato de [tex]q\lt 0[/tex], dizemos que esta progressão geométrica é alternada.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.