Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Dois jogadores [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] jogam o seguinte jogo:
- De uma urna contendo [tex]200[/tex] bolas idênticas marcadas com números do conjunto [tex]\{-100, -99,\dots, -1, 1, \dots, 99, 100\}[/tex], sorteiam-se simultaneamente duas bolas e multiplicam-se os números das bolas sorteadas.
- Se o resultado for positivo, ganha o jogador [tex]A[/tex] e, se for negativo, ganha o jogador [tex]B[/tex].
Qual é a probabilidade de vitória de cada um dos jogadores?
Solução
Duas observações iniciais.
- Inicialmente, veja que podemos escolher simultaneamente duas bolas da urna de [tex]\dfrac{200\times 199}{2}=19900[/tex] formas diferentes.
- Veja, também, que o resultado da multiplicação dos números das duas bolas sorteadas será positivo quando os dois números forem positivos ou os dois números forem negativos.
Já temos o número de casos possíveis para realizar o sorteio simultâneo das duas bolas. Vamos, agora, fazer as contagens dos casos favoráveis às vitórias dos jogadores [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex].
- Podemos sortear duas bolas com números positivos de [tex]\dfrac{100\times 99}{2}=4950[/tex] formas distintas e com números negativos também de [tex]\dfrac{100\times 99}{2}=4950[/tex] formas distintas. Logo:
- o número de casos favoráveis à vitória do jogador [tex]A[/tex] é [tex]9900[/tex] e
- as [tex]10000=19900-9900[/tex] formas distintas restantes de sortear duas bolas são casos favoráveis à vitória do jogador [tex]B[/tex].
Lembrando que o espaço amostral é equiprovável e que nesse caso a probabilidade de um evento ocorrer é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis ao evento e o total de casos possíveis:
[tex]\qquad \qquad \text{probabilidade}= \dfrac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}},[/tex]
já podemos, finalmente, calcular a probabilidade de vitória de cada jogador.
- Probabilidade de vitória do jogador [tex]A[/tex]: [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$p_A=\dfrac{9900}{19900}=\dfrac{99}{199}$} \, ;\\
\\[/tex] - Probabilidade de vitória do jogador [tex]B[/tex]: [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$p_B=\dfrac{10000}{19900}=\dfrac{100}{199}$} \, .[/tex]
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