Problema
(Indicado a partir do 2ª ano do E. M.)
Sandro é o dono de uma empresa de segurança que tem como empregados Alberto, Thiago, Robson e Rodrigo. Sandro deve realizar pagamento aos seus empregados totalizando um valor de vinte mil reais. Alberto, Thiago, Robson e Rodrigo recebem pagamentos com valor mínimo de dois mil, dois mil, três mil e quatro mil reais, respectivamente.
Considerando que cada pagamento realizado aos empregados é múltiplo de um mil reais, calcule a quantidade de maneiras distintas que a distribuição do pagamento de vinte mil reais aos funcionários pode ser realizada.
Extraído de Escola Naval.
Solução 1
Sendo de [tex]X[/tex] a quantia recebida por Alberto, [tex]Y[/tex] a quantia recebida por Thiago, [tex]Z[/tex] a quantia recebida por Robson e [tex]W[/tex] a quantia recebida por Rodrigo, como são todas múltiplas de um mil reais, podemos montar a seguinte equação:
[tex]\qquad X+Y+Z+W=20[/tex].
Estamos, portanto, tentando descobrir as soluções inteiras positivas dessa equação.
Entretanto, as incógnitas possuem restrições impostas no enunciado.
Assim, devemos ter:
[tex]\qquad X = x +2; \quad Y = y + 2; \quad Z = z + 3[/tex] e [tex]W = w + 4. [/tex]
Logo, a nossa equação fica:
[tex]\qquad x+2+y+2+z+3+w+4=20[/tex].
[tex]\qquad x+y+z+w=9[/tex].
Para relembrar como encontrar soluções inteiras não negativas de uma equação, visite esta página.
Assim, o número de soluções inteiras positivas dessa equação pode ser calculado por:
[tex]\qquad P_{12}^{9,3}=\dfrac {12!}{9! \cdot 3!}=220. [/tex]
Portanto, há [tex]220[/tex] maneiras distintas da distribuição do pagamento.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Para responder esse problema, primeiro vamos denotar os pagamentos a cada empregado:
– Alb é o pagamento feito a Alberto.
– Thi é o pagamento feito a Thiago.
– Rob é o pagamento feito a Robson.
– Rod é o pagamento feito a Rodrigo.
As condições dadas são:
Alb + Thi + Rob + Rod = 20000.
Com os valores mínimos constados:
Alb = 2000,
Thi = 2000,
Rob = 3000,
Rod = 4000.
Para simplificar, podemos fazer uma mudança de variável:
Alb – 2000, Thi – 2000, Rob – 3000, Rod – 4000.
Substituindo na equação original, temos:
Alb + 2000 + Thi + 2000 + Rob + 3000 + Rod + 4000 = 20000.
Simplificando:
Alb + Thi + Rob + Rod + 11000 = 20000.
Alb + Thi + Rob + Rod = 9000.
Precisamos encontrar o número de soluções inteiras não negativas para a equação (Alb + Thi + Rob + Rod = 9000), onde cada variável Alb, Thi, Rob, Rod é um múltiplo de 1000.
Para resolver vamos fazer uma nova mudança de variável:
[tex]
\qquad Alb” = \frac{Alb’}{1000}, \quad Thi” = \frac{Thi’}{1000}, \quad Rob” = \frac{Rob’}{1000}, \quad Rod” = \frac{Rod’}{1000}.[/tex]
Ficamos com a equação:
[tex]
\qquad Alb” + Thi” + Rob” + Rod” = 9.[/tex]
Estamos procurando o número de soluções inteiras não negativas. Isso é dado pela fórmula combinatória conhecida como “fórmula das combinações com repetição”:
[tex]
\qquad \text{Número de soluções} = \binom{n + k – 1}{k – 1}.[/tex]
Então o número de soluções é:
[tex]
\qquad \binom{9 + 4 – 1}{4 – 1} = \binom{12}{3}.[/tex]
Calculando [tex]\binom{12}{3}[/tex]:
[tex]
\qquad \binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220.[/tex]
Concluímos que existem 220 maneiras distintas de distribuir os 20 mil reais entre os quatro empregados, seguindo as restrições no enunciado.
Solução elaborada pelo COM Os Matemágicos.
Solução 3
Para resolver o problema de distribuição do pagamento entre os empregados, vamos representar as quantias recebidas por cada um deles com [tex]A, T, Rn[/tex] e [tex]Ro[/tex] para Alberto, Thiago, Robson e Rodrigo, respectivamente. Precisamos garantir que a soma dos pagamentos seja de [tex]20[/tex] mil reais e que cada um receba pelo menos o valor mínimo garantido. Mostrando isso em uma equação, fica assim:
[tex]\qquad (2000 + A) + (2000 + T) + (3000 + Rn) + (4000 + Ro) = 20000.[/tex]
Simplificando, temos:
[tex]\qquad 11000 + A + T + Rn + Ro = 20000.[/tex]
Subtraindo [tex]11000[/tex] de ambos os lados da igualdade, fica:
[tex]\qquad A + T + Rn + Ro = 9000.[/tex]
Precisamos calcular quantas maneiras distintas existem para distribuir os [tex]9000[/tex] reais entre as quatro variáveis, considerando que cada variável representa quantias em múltiplos de mil reais. Para resolver esse problema, vamos usar a fórmula de combinação completa. E para melhorar o cálculo, usaremos [tex]9[/tex] no lugar de [tex]9000[/tex], já que a quantia tem que ser múltipla de mil reais. Pela formula de combinação completa (ou combinação com repetição), obtemos:
[tex]\qquad \dfrac{12!}{3!\cdot9!} = 220.[/tex]
Portanto, há [tex]220[/tex] maneiras distintas de distribuir os [tex]20[/tex] mil reais entre os quatro empregados, respeitando os valores mínimos de pagamento para cada um.
Solução elaborada pelo COM Phidias.