Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(a) (Identidade de Sophie Germain) Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números reais. Mostre que
[tex]\qquad\qquad a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab) \cdot (a^2 + 2b^2 – 2ab)[/tex].
(b) Sendo [tex]n[/tex] um inteiro maior do que [tex]1[/tex], mostre que [tex]n^4 + 4^n[/tex] nunca é primo.
Solução
(a) Note que:
[tex]\quad a^4 + 4b^4 =(a^2)^2 + (2b^2)^2\\
\qquad \qquad = (a^2)^2 + (2b^2)^2 + 4a^2b^2 – 4a^2b^2 \\
\qquad \qquad = (a^2 + 2b^2)^2 – (2ab)^2 \\
\qquad \qquad = (a^2 + 2b^2 + 2ab) \cdot (a^2 + 2b^2 – 2ab)[/tex]
(b) Vamos dividir a demonstração em dois casos.
- Caso I: Se [tex]n[/tex] é par, então temos [tex]n = 2k[/tex], para [tex]k[/tex] inteiro positivo. Assim,
[tex]\qquad n^4 + 4^n = (2k)^4 + 4^{2k} = 16k^4 + 2^{4k} = 2 \cdot (8k^4 + 2^{4k-1})[/tex]
logo [tex]n^4 + 4^n[/tex] não é primo, já que [tex]8k^4 + 2^{4k-1}\gt 1[/tex].
- Caso II: Se [tex]n[/tex] é ímpar, então temos [tex]n = 2k + 1[/tex], para [tex]k[/tex] inteiro positivo. Assim,
[tex]\qquad n^4 + 4^n = (2k + 1)^4 + 4^{2k + 1} = (2k + 1)^4 + 4\cdot 4^{2k} = (2k + 1)^4 + 4\cdot (2^k)^4[/tex].
Tomando [tex]a = 2k + 1[/tex] e [tex]b = 2^k[/tex], pela identidade de Sophie Germain, podemos fatorar a última expressão obtendo
[tex]\qquad n^4 + 4^n = (a^2 + 2b^2 + 2ab) \cdot (a^2 + 2b^2 – 2ab)[/tex].
Resta mostrar que esses fatores não são [tex]1[/tex] e o próprio [tex]n^4 + 4^n[/tex]. Faremos isso mostrando que os dois fatores são maiores que [tex]1[/tex].
Como [tex]k[/tex] é inteiro positivo, temos [tex]k \geq 1[/tex] e, assim,
[tex]\qquad b^2 = (2^k)^2 = 2^{2k} \geq 2^2 = 4[/tex];
logo,
[tex]\qquad a^2 + 2b^2 – 2ab = (a-b)^2 + b^2 \geq (a-b)^2 + 4 > 1[/tex].
Além disso, como [tex]a > 0[/tex] e [tex]b > 0[/tex], temos
[tex]\qquad a^2 + 2b^2 + 2ab > a^2 + 2b^2 – 2ab > 1[/tex].
Portanto, [tex]n^4 + 4^n[/tex] não é primo.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.