Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Dados os pontos P e Q do plano cartesiano com coordenadas (x1,y1) e (x2,y2), respectivamente, a operação ponto médio ∗ calcula o ponto P∗Q com coordenadas (x1+x22,y1+y22). Mostre que, para quaisquer pontos P, Q e R do plano, é válida a propriedade
P∗(Q∗R)=(P∗Q)∗(P∗R),
conhecida como autodistributividade.
Solução
Sendo as coordenadas de P, Q e R, respectivamente, (xp,yp), (xq,yq) e (xr,yr), temos, devido à definição da operação ponto médio, que:
P∗Q=(xp+xq2,yp+yq2),
P∗R=(xp+xr2,yp+yr2),
Q∗R=(xq+xr2,yq+yr2).
Assim:
P∗(Q∗R)=(xp+xq+xr22,yp+yq+yr22)=(2xp+xq+xr4,2yp+yq+yr4),
e
(P∗Q)∗(P∗R)=(xp+xq2,yp+yq2)∗(xp+xr2,yp+yr2)=(2xp+xq+xr4,2yp+yq+yr4).
Desta forma, P∗(Q∗R)=(P∗Q)∗(P∗R).
Solução elaborada pelo COM Koreil Guys.