.Problemão: Operação ponto médio

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

Dados os pontos $P$ e $Q$ do plano cartesiano com coordenadas $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$, respectivamente, a operação ponto médio $\ast$ calcula o ponto $P\ast Q$ com coordenadas $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. Mostre que, para quaisquer pontos $P$, $Q$ e $R$ do plano, é válida a propriedade
$$P\ast(Q\ast R)=(P\ast Q)\ast(P\ast R),$$
conhecida como autodistributividade.

Solução

Sendo as coordenadas de $P$, $Q$ e $R$, respectivamente, $(x_p,y_p)$, $(x_q,y_q)$ e $(x_r,y_r)$, temos, devido à definição da operação ponto médio, que:
$\qquad P\ast Q=\left(\dfrac{x_p+x_q}{2},\dfrac{y_p+y_q}{2} \right),$
$\qquad P\ast R=\left(\dfrac{x_p+x_r}{2},\dfrac{y_p+y_r}{2} \right),$
$\qquad Q\ast R=\left(\dfrac{x_q+x_r}{2},\dfrac{y_q+y_r}{2} \right).$
Assim:
$\qquad P\ast(Q\ast R)=\left(\dfrac{x_p+\dfrac{x_q+x_r}{2}}{2},\dfrac{y_p+\dfrac{y_q+y_r}{2}}{2} \right)=\left(\dfrac{2x_p+x_q+x_r}{4},\dfrac{2y_p+y_q+y_r}{4} \right),$
e
$\qquad (P\ast Q)\ast(P\ast R)=\left(\dfrac{x_p+x_q}{2},\dfrac{y_p+y_q}{2} \right)\ast \left(\dfrac{x_p+x_r}{2},\dfrac{y_p+y_r}{2} \right)=\left(\dfrac{2x_p+x_q+x_r}{4},\dfrac{2y_p+y_q+y_r}{4} \right).$

Desta forma, $P\ast(Q\ast R)=(P\ast Q)\ast(P\ast R)$.

Solução elaborada pelo COM Koreil Guys.