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.Problemão: Operação ponto médio

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)


Dados os pontos P e Q do plano cartesiano com coordenadas (x1,y1) e (x2,y2), respectivamente, a operação ponto médio calcula o ponto PQ com coordenadas (x1+x22,y1+y22). Mostre que, para quaisquer pontos P, Q e R do plano, é válida a propriedade
P(QR)=(PQ)(PR),
conhecida como autodistributividade.

Solução


Sendo as coordenadas de P, Q e R, respectivamente, (xp,yp), (xq,yq) e (xr,yr), temos, devido à definição da operação ponto médio, que:
PQ=(xp+xq2,yp+yq2),
PR=(xp+xr2,yp+yr2),
QR=(xq+xr2,yq+yr2).
Assim:
P(QR)=(xp+xq+xr22,yp+yq+yr22)=(2xp+xq+xr4,2yp+yq+yr4),
e
(PQ)(PR)=(xp+xq2,yp+yq2)(xp+xr2,yp+yr2)=(2xp+xq+xr4,2yp+yq+yr4).

Desta forma, P(QR)=(PQ)(PR).


Solução elaborada pelo COM Koreil Guys.

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