Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Dados os pontos [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] do plano cartesiano com coordenadas [tex] (x_1, y_1)[/tex] e [tex](x_2, y_2)[/tex], respectivamente, a operação ponto médio [tex]\ast[/tex] calcula o ponto [tex]P\ast Q[/tex] com coordenadas [tex]\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)[/tex]. Mostre que, para quaisquer pontos [tex]P[/tex], [tex]Q[/tex] e [tex]R[/tex] do plano, é válida a propriedade
$$P\ast(Q\ast R)=(P\ast Q)\ast(P\ast R),$$
conhecida como autodistributividade.
Solução
Sendo as coordenadas de [tex]P[/tex], [tex]Q[/tex] e [tex]R[/tex], respectivamente, [tex](x_p,y_p)[/tex], [tex](x_q,y_q)[/tex] e [tex](x_r,y_r)[/tex], temos, devido à definição da operação ponto médio, que:
[tex]\qquad P\ast Q=\left(\dfrac{x_p+x_q}{2},\dfrac{y_p+y_q}{2} \right),[/tex]
[tex]\qquad P\ast R=\left(\dfrac{x_p+x_r}{2},\dfrac{y_p+y_r}{2} \right),[/tex]
[tex]\qquad Q\ast R=\left(\dfrac{x_q+x_r}{2},\dfrac{y_q+y_r}{2} \right).[/tex]
Assim:
[tex]\qquad P\ast(Q\ast R)=\left(\dfrac{x_p+\dfrac{x_q+x_r}{2}}{2},\dfrac{y_p+\dfrac{y_q+y_r}{2}}{2} \right)=\left(\dfrac{2x_p+x_q+x_r}{4},\dfrac{2y_p+y_q+y_r}{4} \right),[/tex]
e
[tex]\qquad (P\ast Q)\ast(P\ast R)=\left(\dfrac{x_p+x_q}{2},\dfrac{y_p+y_q}{2} \right)\ast \left(\dfrac{x_p+x_r}{2},\dfrac{y_p+y_r}{2} \right)=\left(\dfrac{2x_p+x_q+x_r}{4},\dfrac{2y_p+y_q+y_r}{4} \right).[/tex]
Desta forma, [tex]P\ast(Q\ast R)=(P\ast Q)\ast(P\ast R)[/tex].
Solução elaborada pelo COM Koreil Guys.