Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)
Considere a função polinomial [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [/tex] definida por [tex]f(x)=(x^{2} +2020x-1)^{2} +(2x+ 2020)^{2}[/tex].
(a) Encontre números reais [tex]k[/tex] e [tex]h[/tex] tais que [tex]f(x)=(x^{2}+kx+1)^{2} +h[/tex];
(b) Encontre o valor mínimo da função [tex]f[/tex].
(Adaptado do PROFMAT – ENQ2019.1)
Solução 1
(a) Desenvolvendo a potência que aparece na segunda parcela da expressão de [tex]f(x)[/tex], obtemos:
[tex]\qquad (2x+2020)^{2}= 4x^{2} + 2 \cdot 2020 \cdot 2x + 2020^{2}= 4(x^{2} + 2020 \cdot x) + 2020^{2}[/tex].
Para facilitar os cálculos, faremos [tex]z=x^{2} +2020x[/tex]; e, com isso, segue que:
[tex]\qquad f(x)=(x^{2}+ 2020x-1)^{2} + 4(x^{2}+2020x) + 2020^{2}\\
\qquad f(x)= (z-1)^{2} +4z+2020^{2}\\
\qquad f(x)= z^{2}-2z+1+4z + 2020^{2}\\
\qquad f(x)= z^{2} +2z+1+2020^{2} \\
\qquad f(x)= (z+1)^{2}+ 2020^{2}\\
\qquad f(x)=(x^{2}+ 2020x+1)^{2} + 2020^{2}.[/tex]
Comparando as duas expressões que definem a função [tex]f[/tex], [tex]\boxed{f(x)= (x^{2}+ 2020x+1)^{2} + 2020^{2}}\,[/tex] e [tex]\,\boxed{f(x)=(x^{2}+kx+1)^{2} +h}[/tex], concluímos que:
- [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$k=2020$}\;[/tex] e [tex]\; \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$h=2020^{2}$}\,.[/tex]
(b) Segue do item (a) que [tex]f(x)= (x^{2}+ 2020x+1)^{2} + 2020^{2}[/tex].
Agora, observe que, como [tex]2020^2[/tex] é constante, a variação de valores [tex]f(x)[/tex] é dada pela variação de valores da expressão [tex] (x^{2}+ 2020x+1)^{2}[/tex]. Assim, particularmente, se o menor valor assumido pela expressão [tex](x^{2}+ 2020x+1)^{2}[/tex] for [tex]m[/tex], então o valor mínimo da função [tex]f[/tex] será [tex]\boxed{m+2020^2}\,.[/tex] Vamos, então, determinar [tex]m\,.[/tex]
Como [tex](x^{2}+ 2020x+1)^{2}\geqslant 0[/tex], é tentador afirmar que o menor valor assumido por essa expressão seja [tex]0[/tex]; no entanto, precisamos verificar se, de fato, existe um valor real [tex]x_0[/tex] tal que [tex](x_0^{2}+ 2020x_0+1)^{2}=0[/tex]. Por exemplo, note que, embora [tex]\left(a^2+5\right)^2 \geqslant 0[/tex] e [tex]\left(b^2+20\right)^2 \geqslant 0[/tex], os menores valores assumidos por essas expressões são [tex]25[/tex] e [tex]400[/tex], respectivamente, e não zero.
Para analisar corretamente o menor valor da expressão [tex] (x^{2}+ 2020x+1)^{2}[/tex], veja que a função quadrática [tex]g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] definida por [tex]g(x)=x^{2}+ 2020x+1[/tex] possui duas raízes reais, já que o seu discriminante é maior do que [tex]0[/tex] [tex](\Delta = 2000^2-4\cdot 1\cdot 1 \gt 0)[/tex]. Assim, como a imagem dessas raízes pela função [tex]g[/tex] é [tex]0[/tex], existem dois números reais distintos [tex]r_1[/tex] e [tex]r_2[/tex] tais que [tex]r_1^{2}+ 2020r_1+1=0[/tex] e [tex]r_2^{2}+ 2020r_2+1=0[/tex].
Dessa forma, existe de fato um número real [tex]x_0[/tex] (na verdade dois) tal que [tex]\left(x_0^{2}+ 2020x_0+1\right)^2=0[/tex]; consequentemente [tex]m=0[/tex] e o valor mínimo de [tex]f[/tex] é [tex]\boxed{0+2020^2}[/tex], ou seja [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2020^2$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
(a) Podemos reescrever a expressão que define [tex]f(x)[/tex] como:
[tex]\;\;f(x)=(x^2+2020x-1)^{2}+(2x+2020)^{2}\\
\;\; f(x)=(x^2 + 2020x-1)\cdot (x^2+2020x-1)+(2x+2020)^{2}\\
\;\; f(x)=x^{2}\cdot (x^2+2020x-1)+2020x\cdot (x^2+2020x-1)-1\cdot (x^2+2020x-1)+\\
\;\; \qquad \quad +\left((2x)^{2} + 2\cdot 2x \cdot 2020+ 2020^{2}\right)\\
\;\; f(x)= x^{4}+2020x^{3} -x^{2} + 2020x^{3} + 2020^{2} x^{2} -2020x -x^{2} -2020x +\\
\;\; \qquad \quad + 1 +4x^{2} + 8080x + 2020^{2} \\
\;\; f(x)=x^{4}+4040 x^{3}+(2020^{2} + 2)x^{2}+4040x + (2020^{2} +1)\,.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Por outro lado, supondo que [tex]f(x) = (x^{2} + kx + 1)^{2} +h[/tex], segue que:
[tex]\; f(x)=(x^{2} + kx + 1)(x^{2} + kx + 1)+ h [/tex]
[tex]\; f(x)=x^{2}(x^{2} + kx + 1) + kx(x^{2} + kx + 1) + (x^{2} + kx + 1) + h [/tex]
[tex]\; f(x)=x^{4} + x^{3}k + x^{2} +k x^{3} + k^{2} x^{2} + kx + x^{2} + kx +1+h[/tex]
[tex]\; f(x)= x^{4} + 2kx^{3} + (k^{2}+2)x^{2} + 2kx +(h+1)\,.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] que
[tex]\qquad x^{4}+4040 x^{3}+(2020^{2} + 2)x^{2}+4040x + (2020^{2} +1)=\\
\qquad = x^{4} + 2kx^{3} + (k^{2}+2)x^{2} + 2kx +(h+1)[/tex]
e, portanto,
[tex]\qquad \left\{ \begin{array}{lll}
4040=2k & \quad \textcolor{#800000}{(a)} & \\
2020^{2} + 2= k^{2} +2 & \quad \textcolor{#800000}{(b)} & \\
4040 = 2k & \quad \textcolor{#800000}{(c)} & \\
2020^{2} +1= h+1 & \quad \textcolor{#800000}{(d)} & \\
\end{array}\right.[/tex]
Assim, de [tex]\textcolor{#800000}{(d)}[/tex] concluímos que [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$h=2020^{2}$}[/tex] e de [tex]\textcolor{#800000}{(a)}[/tex], [tex]\textcolor{#800000}{(b)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(c)}[/tex] concluímos que [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$k=2020$}\,.[/tex]
(b) Segue do item (a) que [tex]f(x)= (x^{2}+ 2020x+1)^{2} + 2020^{2}[/tex].
Agora, observe que, como [tex]2020^2[/tex] é constante, a variação de valores [tex]f(x)[/tex] é dada pela variação de valores da expressão [tex] (x^{2}+ 2020x+1)^{2}[/tex]. Assim, particularmente, se o menor valor assumido pela expressão [tex](x^{2}+ 2020x+1)^{2}[/tex] for [tex]m[/tex], então o valor mínimo da função [tex]f[/tex] será [tex]\boxed{m+2020^2}\,.[/tex] Vamos, então, determinar [tex]m\,.[/tex]
Como [tex](x^{2}+ 2020x+1)^{2}\geqslant 0[/tex], é tentador afirmar que o menor valor assumido por essa expressão seja [tex]0[/tex]; no entanto, precisamos verificar se, de fato, existe um valor real [tex]x_0[/tex] tal que [tex](x_0^{2}+ 2020x_0+1)^{2}=0[/tex]. Por exemplo, note que, embora [tex]\left(a^2+5\right)^2 \geqslant 0[/tex] e [tex]\left(b^2+20\right)^2 \geqslant 0[/tex], o menor valor assumido por essas expressões são [tex]25[/tex] e [tex]400[/tex], respectivamente, e não zero.
Para analisar corretamente o menor valor da expressão [tex] (x^{2}+ 2020x+1)^{2}[/tex], veja que a função quadrática [tex]g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] definida por [tex]g(x)=x^{2}+ 2020x+1[/tex] possui duas raízes reais, já que o seu discriminante é maior do que [tex]0[/tex] [tex](\Delta = 2020^2-4\cdot 1\cdot 1 \gt 0)[/tex]. Assim, como a imagem dessas raízes pela função [tex]g[/tex] é [tex]0[/tex], existem dois números reais distintos [tex]r_1[/tex] e [tex]r_2[/tex] tais que [tex]r_1^{2}+ 2020r_1+1=0[/tex] e [tex]r_2^{2}+ 2020r_2+1=0[/tex].
Dessa forma, existe de fato um número real [tex]x_0[/tex] (na verdade dois) tal que [tex]\left(x_0^{2}+ 2020x_0+1\right)^2=0[/tex]; consequentemente [tex]m=0[/tex] e o valor mínimo de [tex]f[/tex] é [tex]\boxed{0+2020^2}[/tex], ou seja, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2020^2$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.