Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Dois números naturais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são ditos coprimos, ou primos entre si, se [tex]mdc(a,b)=1[/tex].
Encontre a quantidade de números naturais menores do que [tex]216[/tex] que são coprimos com este número.
Solução
O número [tex]216[/tex] pode ser fatorado na forma [tex]216=2^33^3[/tex]. Observe que os números naturais positivos menores do que [tex]216[/tex] que são coprimos com este número são exatamente os números que não são divisíveis por [tex]2[/tex] ou [tex]3[/tex].
Perceba que:
- o conjunto de múltiplos de [tex]2[/tex] entre [tex]1[/tex] e [tex]216[/tex] contém [tex]108[/tex] elementos
([tex]2=2\times\textcolor{red}{1} \, ; \, 4=2\times\textcolor{red}{2} \, ; \, \cdots \, ; \, 216=2\times\textcolor{red}{108} \, [/tex]), - o conjunto de múltiplos de [tex]3[/tex] contém [tex]72[/tex] elementos
([tex]3=3\times\textcolor{blue}{1} \, ; \, 6=3\times\textcolor{blue}{2} \, ; \, \cdots \, ; \, 216=3\times\textcolor{blue}{72} \, [/tex]), - e o conjunto de múltiplos de [tex]2[/tex] e [tex]3[/tex], ou seja de [tex]6[/tex], contém [tex]36[/tex] elementos
([tex]6=6\times\textcolor{green}{1} \, ; \, 12=6\times\textcolor{green}{2} \, ; \, \cdots \, ; \, 216=6\times\textcolor{green}{36} \, [/tex]);
assim, usando o fato de que a quantidade de elementos da união de dois conjuntos é a soma da quantidade de elementos de cada um menos a quantidade de elementos da intersecção destes conjuntos, segue que a quantidade de múltiplos de [tex]2[/tex] ou [tex]3[/tex] entre [tex]1[/tex] e [tex]216[/tex] é dada por [tex]108+72-36=144.[/tex]
Com isso, a quantidade de números entre [tex]1[/tex] e [tex]216[/tex] que não são divisíveis por [tex]2[/tex] ou [tex]3[/tex] é [tex]\boxed{216-144=72} \, .[/tex]
Portanto, a quantidade de números naturais menores do que [tex]216[/tex] que são coprimos com este número é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$72$} \, .[/tex]
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