.Problemão: Número de sete algarismos

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

(FGV, 2013) Quantos números naturais de

$7$ algarismos são tais que o produto dos seus algarismos resulta

$14$ ?

Solução

Sabemos que $14=2 \cdot 7$ ; logo, o produto dos algarismos deve conter exatamente um fator $2$ e um fator $7$ , enquanto os demais fatores devem ser todos iguais a $1$ .
Observe que o total de números com $7$ algarismos escritos com $1, 1, 1, 1, 1, 2, 7$ é dado pela permutação de $7$ elementos com repetição de $5$ , ou seja, $\dfrac{7!}{5!}=7 \cdot 6=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$42$} \, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.