Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(Revista EUREKA-15) Quantos números múltiplos de [tex]3[/tex] com quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos [tex]2, 3, 6, 7 \, [/tex] e [tex] \, 9[/tex]?
Solução
Primeiramente vamos lembrar do critério de divisibilidade por [tex]3[/tex]:
- "Um número é divisível por [tex]3[/tex] se, e somente se, a soma de seus algarismos é um número múltiplo de [tex]3[/tex]."
Agora, considerando um número [tex]n[/tex] de quatro algarismos distintos escolhidos entre [tex]2, 3, 6, 7 \, [/tex] e [tex] \, 9[/tex] observamos que a soma [tex]2+3+6+7+9=27[/tex] é um múltiplo de [tex]3[/tex]. Assim, como precisamos eliminar um dos cinco algarismos em questão e a soma deve continuar sendo múltiplo de [tex]3[/tex], só podemos retirar [tex]3[/tex], [tex]6[/tex] ou [tex]9[/tex], totalizando três casos possíveis.
Caso (I): Retirando o algarismo [tex]3[/tex].
É possível formar [tex]4! = 24[/tex] números de quatro algarismos distintos com [tex]2, 6, 7 [/tex] e [tex] \, 9[/tex].
Caso (II): Retirando o algarismo [tex]6[/tex].
É possível formar [tex]4! = 24[/tex] números de quatro algarismos distintos com [tex]2, 3, 7 [/tex] e [tex] \, 9[/tex].
Caso (III): Retirando o algarismo [tex]9[/tex].
É possível formar [tex]4! = 24[/tex] números de quatro algarismos distintos com [tex]2, 3, 6[/tex] e [tex] \, 7[/tex].
Conclusão: podemos formar [tex]24 + 24 + 24 = \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$72$} \, [/tex] números de quatro algarismos distintos múltiplos de três com [tex]2, 3, 6, 7 \, [/tex] e [tex] \, 9[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.