Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)
Calcule o valor mínimo da função [tex]f:(0, \infty)\rightarrow\mathbb{R}[/tex] definida por [tex]f(x)=6x+\dfrac {24}{x^{2}}[/tex].
Extraído de PAPMEM.
Lembretes
Sejam [tex]a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n[/tex] números reais positivos.
(1) Chamamos de Média Aritmética dos números [tex]a_1, a_2, a_3, \cdots a_n[/tex] o número assim definido:
[tex]\boxed{MA=\dfrac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{n}}.[/tex]
(2) Chamamos de Média Geométrica dos números [tex]a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n[/tex] o número assim definido:
[tex]\boxed{MG=\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_n}}.[/tex]
(3) Propriedade importante: [tex]\boxed{MA \geqslant MG}[/tex], ou seja,
[tex]\boxed{\dfrac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{n}\geqslant \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_n}}.[/tex]
A igualdade só ocorre para [tex]a_1=a_2=a_3=\cdots = a_n.[/tex]
(Para aprender um pouco mais sobre médias, clique AQUI)
Solução
Note que:
[tex]\qquad f(x)=6x+\dfrac {24}{x^{2}}=3x+3x+\dfrac{24}{x^{2}}[/tex].
Agora, como [tex]x \gt 0[/tex] e [tex]3x \cdot 3x \cdot \dfrac{24}{x^{2}}=216[/tex], podemos utilizar a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica para obter:
[tex]\qquad\dfrac{3x+3x+\dfrac{24}{x^{2}}}{3} \ge \sqrt[3]{3x \cdot 3x \cdot \dfrac{24}{x^{2}}}[/tex].
[tex]\qquad\dfrac{3x+3x+\dfrac{24}{x^{2}}}{3} \ge \sqrt[3]{216}[/tex].
[tex]\qquad\dfrac{3x+3x+\dfrac{24}{x^{2}}}{3} \ge 6[/tex].
[tex]\qquad3x+3x+\dfrac{24}{x^{2}} \ge 18[/tex].
Portanto, o valor mínimo de [tex]3x+3x+\dfrac{24}{x^{2}}[/tex] é [tex]18[/tex] e isso só ocorre quando as parcelas são todas iguais, ou seja:
[tex]\qquad3x=3x=\dfrac{24}{x^{2}}=6[/tex].
[tex]\qquad 3x=6[/tex].
[tex]\qquad x=2[/tex].
De fato, quando [tex]x=2[/tex]:
[tex]\qquad f(2)=6\cdot 2+ \dfrac {24}{2^2} =12+6=18.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.