.Problemão: Medianas de um triângulo

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)


Ao traçarmos as três medianas de um triângulo qualquer, dividimos o mesmo em seis triângulos menores.
Mostre que esses seis triângulos são equivalentes, ou seja, possuem a mesma área.

 

Solução


Na resolução deste problema usaremos dois resultados bem conhecidos.

(1) As três medianas de um triângulo qualquer se intersectam num mesmo ponto. Este ponto é dito baricentro do triângulo.

O resultado (1) justifica a figura a seguir, na qual apresentamos um triângulo ABC, sendo D, E, F e G os pontos médios dos lados e o baricentro deste triângulo, respectivamente.

(2) Triângulos que tenham bases congruentes e mesma altura possuem mesma área.

Usando o resultado (2) no triângulo da nossa figura, perceba que:
   (i) os triângulos AGD e BGD possuem mesma área, que indicaremos por S; pois possuem bases AD e DB congruentes e a mesma altura relativa a essas bases (a distância de G à reta AB).
De modo análogo, observe que
   (ii) os triângulos BGE e CGE possuem mesma área, que indicaremos por X;
   (iii) os triângulos CGF e AGF possuem mesma área, que indicaremos por Y;
   (iv) os triângulos CAD e CBD possuem mesma área, e portanto temos, 2Y + S = 2X + S de onde se conclui que Y = X;
   (v) os triângulos CAE e BAE possuem mesma área, e portanto temos, 2Y + X = 2S + X de onde se conclui que Y = S.
 

Temos, portanto, X = Y = S, o que nos leva a concluir que as medianas dividem o triângulo ABC em seis triângulos de mesma área S.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.




Um applet para ilustrar


Você pode utilizar o applet abaixo para visualizar o problema e a sua solução.
Na janela do aplicativo, vemos um triângulo, suas três medianas e os seis triângulos determinados por elas.
Você pode modificar o triângulo [tex]ABC[/tex], movimentando seus vértices.
A cada movimento dos pontos [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex], o aplicativo mostrará imediatamente as áreas dos seis triângulos menores.



Instruções:
(1) Espere o applet carregar. (O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.)
(2) Para movimentar os pontos [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex], clique sobre cada um deles com o mouse, mantenha o mouse pressionado e faça o movimento. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente em cada ponto e movimente-o.)


OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra
Observamos que o applet ajuda na visualização da resposta;
mas, matematicamente, não substitui sua demonstração.

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