Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Quantas vezes, no mínimo, se deve lançar um dado para que a probabilidade de obter algum 6 seja superior a 90%?
Solução
A ideia para resolver este problema é trabalhar com a probabilidade complementar.
Observemos, inicialmente, que a probabilidade de não obtermos o número 6 em um lançamento é de [tex]\frac{5}{6}[/tex].
Em dois lançamentos sucessivos, essa probabilidade é dada por [tex]\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6}= \frac{25}{36}[/tex] e, de modo análogo, para [tex]n[/tex] lançamentos essa probabilidade será de [tex]\left( \frac{5}{6}\right)^n[/tex].
Neste caso queremos encontrar o menor [tex]n[/tex] inteiro positivo para o qual o valor de [tex](\frac{5}{6})^n[/tex] seja [tex]0,1[/tex], ou menos (note que quanto maior o valor de [tex]n[/tex], menor será o valor de [tex](\frac{5}{6})^n[/tex]).
Mas
[tex]\begin{align*}\quad \left( \dfrac{5}{6}\right)^n = 0,1 &\iff log \left( \dfrac{5}{6}\right)^n = log(0,1) \iff n \cdot log \left( \frac{5}{6}\right)= log (0,1) \iff \\
& \iff n = \dfrac{log (0,1)}{ log (\frac{5}{6})} \simeq 12,63,\end{align*}[/tex]
logo, o menor inteiro positivo [tex]n[/tex] para o qual a probabilidade de não sair o seis, após [tex]n[/tex] lançamentos, seja menor do que 10% é o [tex]13[/tex].
Repare que isso significa que [tex]13[/tex] é também o menor inteiro positivo que indica que a probabilidade de sair ao menos um 6, em [tex]n[/tex] lançamentos, é maior do que 90%.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube MIRIM APRENDIZ.