Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Marina tem duas caixas, uma com onze bolas distintas numeradas de 1 a 11 e a outra com quinze bolas, também distintas, numeradas com os 15 números primos menores do que 50. Ela sorteia uma bola de cada caixa.
Qual a probabilidade de que o produto dos números das bolas sorteadas seja par?
Solução
Para resolvermos este problema, é interessante trabalharmos com a ideia de conjunto complementar. Particularmente,
- o complementar do conjunto de resultados (eventos) tais que o produto das bolas sorteadas é par é o conjunto de resultados tais que o produto das bolas sorteadas é ímpar.
Para termos o produto de duas bolas ímpares, só existe uma maneira: sortear duas bolas numeradas com números ímpares.
- Observe que, na primeira caixa, temos seis números ímpares de um total de onze números; logo, a probabilidade de sortearmos uma bola na primeira caixa que possua um número ímpar é [tex]\frac{6}{11}[/tex].
- A probabilidade de sortearmos um número ímpar na segunda caixa é [tex]\frac{14}{15}[/tex], uma vez que, dos quinze números primos, só existe um par: [tex]2.[/tex]
Assim, como os dois eventos são independentes, a probabilidade de o produto dos números das bolas ser ímpar é:
[tex]\qquad \qquad \dfrac{6}{11}\times\dfrac{14}{15}=\dfrac{28}{55} [/tex].
Consequentemente, a probabilidade de o produto ser par é:
[tex]\qquad \qquad 1-\dfrac{28}{55}=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{27}{55}$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.