Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Encontre os pares [tex](x,y)[/tex] de inteiros tais que:
[tex]\qquad (xy-7)^2=x^2+y^2[/tex].
Extraído de Math Olympiad.
Solução
Note que:
[tex]\qquad (xy-7)^2=x^2+y^2,[/tex]
[tex]\qquad (xy)^2-14xy+49=x^2+y^2.[/tex]
Como [tex]-14xy=-12xy-2xy[/tex], temos:
[tex]\qquad (xy)^2-12xy-2xy+49=x^2+y^2,[/tex]
[tex]\qquad (xy)^2-12xy+49=x^2+y^2+2xy.[/tex]
Fazendo [tex]49=36+13[/tex], temos:
[tex]\qquad (xy)^2-12xy+36+13=x^2+y^2+2xy,[/tex]
que equivale a:
[tex]\qquad (xy-6)^2+13=(x+y)^2[/tex].
Isolando o termo constante, vem:
[tex]\qquad (x+y)^2-(xy-6)^2=13.[/tex]
Utilizando o produto notável diferença de quadrados, obtemos:
[tex]\qquad (x+y+xy-6) \cdot (x+y-xy+6)=13.[/tex]
Como [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] são números inteiros e [tex]13[/tex] é um número primo, temos [tex]4[/tex] casos possíveis:
(1º caso)
[tex]\qquad \begin{cases} x+y+xy-6=13 \\ x+y-xy+6=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x+y=7 \\ xy=12 \end{cases} \Rightarrow x=3 [/tex] e [tex]y=4[/tex] ou [tex]x=4[/tex] e [tex]y=3[/tex].
(2º caso)
[tex]\qquad \begin{cases} x+y+xy-6=1 \\ x+y-xy+6=13 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x+y=7 \\ xy=0 \end{cases} \Rightarrow x=0 [/tex] e [tex]y=7[/tex] ou [tex]x=7[/tex] e [tex]y=0[/tex].
(3º caso)
[tex]\qquad \begin{cases} x+y+xy-6=-13 \\ x+y-xy+6=-1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x+y=-7 \\ xy=0 \end{cases} \Rightarrow x=0 [/tex] e [tex]y=-7[/tex] ou [tex]x=-7[/tex] e [tex]y=0[/tex].
(4º caso)
[tex]\qquad \begin{cases} x+y+xy-6=-1 \\ x+y-xy+6=-13 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x+y=-7 \\ xy=12 \end{cases} \Rightarrow x=- 3[/tex] e [tex]y=-4[/tex] ou [tex]x=-4[/tex] e [tex]y=-3[/tex].
Assim, as soluções inteiras são: [tex](4,3), (3,4), (0,7), (7,0), (0,-7), (-7,0), (-4,-3), (-3,-4)[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.