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.Problemão: Mais soluções inteiras

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)


Encontre os pares (x,y) de inteiros tais que:

(xy7)2=x2+y2.

Extraído de Math Olympiad.

Solução


Note que:

(xy7)2=x2+y2,

(xy)214xy+49=x2+y2.

Como 14xy=12xy2xy, temos:

(xy)212xy2xy+49=x2+y2,

(xy)212xy+49=x2+y2+2xy.

Fazendo 49=36+13, temos:

(xy)212xy+36+13=x2+y2+2xy,

que equivale a:

(xy6)2+13=(x+y)2.

Isolando o termo constante, vem:

(x+y)2(xy6)2=13.

Utilizando o produto notável diferença de quadrados, obtemos:

(x+y+xy6)(x+yxy+6)=13.

Como x e y são números inteiros e 13 é um número primo, temos 4 casos possíveis:

(1º caso)
{x+y+xy6=13x+yxy+6=1{x+y=7xy=12x=3 e y=4 ou x=4 e y=3.

(2º caso)
{x+y+xy6=1x+yxy+6=13{x+y=7xy=0x=0 e y=7 ou x=7 e y=0.

(3º caso)
{x+y+xy6=13x+yxy+6=1{x+y=7xy=0x=0 e y=7 ou x=7 e y=0.

(4º caso)
{x+y+xy6=1x+yxy+6=13{x+y=7xy=12x=3 e y=4 ou x=4 e y=3.

Assim, as soluções inteiras são: (4,3),(3,4),(0,7),(7,0),(0,7),(7,0),(4,3),(3,4).


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

 

Participaram da discussão os Clubes: Koreil Guys.

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