Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Encontre os pares (x,y) de inteiros tais que:
(xy−7)2=x2+y2.
Extraído de Math Olympiad.
Solução
Note que:
(xy−7)2=x2+y2,
(xy)2−14xy+49=x2+y2.
Como −14xy=−12xy−2xy, temos:
(xy)2−12xy−2xy+49=x2+y2,
(xy)2−12xy+49=x2+y2+2xy.
Fazendo 49=36+13, temos:
(xy)2−12xy+36+13=x2+y2+2xy,
que equivale a:
(xy−6)2+13=(x+y)2.
Isolando o termo constante, vem:
(x+y)2−(xy−6)2=13.
Utilizando o produto notável diferença de quadrados, obtemos:
(x+y+xy−6)⋅(x+y−xy+6)=13.
Como x e y são números inteiros e 13 é um número primo, temos 4 casos possíveis:
(1º caso)
{x+y+xy−6=13x+y−xy+6=1⇒{x+y=7xy=12⇒x=3 e y=4 ou x=4 e y=3.
(2º caso)
{x+y+xy−6=1x+y−xy+6=13⇒{x+y=7xy=0⇒x=0 e y=7 ou x=7 e y=0.
(3º caso)
{x+y+xy−6=−13x+y−xy+6=−1⇒{x+y=−7xy=0⇒x=0 e y=−7 ou x=−7 e y=0.
(4º caso)
{x+y+xy−6=−1x+y−xy+6=−13⇒{x+y=−7xy=12⇒x=−3 e y=−4 ou x=−4 e y=−3.
Assim, as soluções inteiras são: (4,3),(3,4),(0,7),(7,0),(0,−7),(−7,0),(−4,−3),(−3,−4).
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.