Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
O produto de um milhão de números naturais, não necessariamente distintos, é igual a um milhão. Qual é o maior valor possível para a soma desses números?
Extraído de OBM [tex]2002[/tex] – [tex]1^a[/tex] Fase – Nível [tex]1[/tex].
Solução
Supondo que haja dois números [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] maiores do que [tex]1[/tex], entre os fatores do produto, podemos sempre substituir esses fatores por [tex]ab[/tex] e [tex]1[/tex], já que [tex]ab+1 \gt a+b[/tex]. Ao fazer isso, estamos mantendo o produto, mantendo a quantidade de fatores, mas aumentando o valor da soma. De fato:
[tex]\qquad a \gt 1 \Rightarrow a \gt \dfrac{b-1}{b-1} \Rightarrow a(b-1) \gt b-1 \Rightarrow ab-a \gt b-1 \Rightarrow ab+1 \gt a+b.[/tex]
Dessa forma, o produto de soma máxima é dado por [tex]1 \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1 \cdot 1\ 000\ 000[/tex], com [tex]999\ 999[/tex] fatores iguais a [tex]1[/tex] e um fator igual a [tex]1\ 000\ 000[/tex]. A soma desses fatores é [tex]1\ 999\ 999[/tex].
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