Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)
O grande matemático francês Emile Borel provou, em 1913, o “Teorema do Macaco Infinito”. Este teorema afirma que um macaco digitando aleatoriamente em um teclado por um intervalo de tempo infinito irá, quase certamente, criar um texto qualquer escolhido, como por exemplo a obra completa de William Shakespeare. Considere um teclado contendo apenas as 26 letras do nosso alfabeto, sem outras teclas como espaço, pontuações e números. Encontre a probabilidade do bloco de letras “obmep” ser digitado, em qualquer posição, quando o macaco apertar aleatoriamente [tex]10[/tex] teclas.
Solução 1
O número total de possibilidades para a sequência de [tex]10[/tex] letras que o macaco irá digitar é [tex]26^{10}[/tex], já que cada letra pode ser escolhida de [tex]26[/tex] formas.
O número de casos em que a palavra obmep aparece pode ser contado da seguinte forma: primeiramente escolhemos a posição em que a palavra irá começar e isto pode ser feito de [tex]6[/tex] maneiras (qualquer uma das [tex]6[/tex] primeiras teclas) e cada uma das outras [tex]5[/tex] teclas pode ser apertada de [tex]26[/tex] maneiras distintas. Assim, o número total de possibilidades será [tex]6\cdot 26^5-1[/tex], já que devemos excluir o caso obmepobmep contado duas vezes. Portanto, a probabilidade do macaco escrever a palavra obmep é de
$$\dfrac{6\cdot 26^5-1}{26^{10}}\approx 5,05\cdot 10^{-7}.$$
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Considerando que a extensão de “obmep” é [tex]5[/tex] de letras, então, em uma sequência de [tex]10[/tex] letras tecladas, há [tex]6[/tex] possibilidades para a posição da palavra “obmep”:
obmep _ _ _ _ _
_ obmep _ _ _ _
_ _ obmep _ _ _
_ _ _ obmep _ _
_ _ _ _ obmep _
_ _ _ _ _ obmep
Cada uma delas é equiprovável, pois contém a mesma quantidade de teclas específicas (“obmep”) e aleatórias (as outras [tex]5[/tex]).
Cada letra específica possui a possibilidade de [tex]\dfrac{1}{26}[/tex] de ser apertada. Como “obmep” tem [tex]5[/tex] letras específicas, a probabilidade de ela ser digitada em cada caso é de [tex]\left(\dfrac{1}{26}\right)^5[/tex].
Em cada caso, as outras [tex]5[/tex] letras a serem apertadas podem ser quaisquer umas, porém é preciso tomar um cuidado: nessa contagem estamos repetindo um elemento dos casos “obmep _ _ _ _ _” e dos casos “_ _ _ _ _ obmep” pois eles possuem uma intersecção: “obmepobmep”. Essa intersecção possui [tex]\left(\dfrac{1}{26} \right)^{10} [/tex] de chance de ocorrer.
A probabilidade total do evento da questão ocorrer, desse modo, é [tex]6[/tex] vezes a chance de um dos casos ocorrer (pois são equiprováveis) menos a intersecção observada:
$$6\left(\dfrac{1}{26}\right)^5 -\left(\dfrac{1}{26} \right)^{10}.$$
Solução elaborada pelo COM Koreil Guys.