Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
A sequência
[tex]\qquad{1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64, 71, \dots}[/tex]
é uma progressão aritmética com primeiro termo igual a [tex]1[/tex] e razão igual a [tex]7[/tex]. Observe que esta sequência apresenta alguns termos que são potências de [tex]2[/tex], como o [tex]8[/tex] e o [tex]64[/tex]. Mostre que existem, nessa progressão, infinitos termos que são potências de [tex]2[/tex].
Solução
Observe que, como o termo geral para esta progressão é [tex]a_n=1+7\cdot (n-1)[/tex], os termos desta sequência são todos os números que deixam resto [tex]1[/tex] quando divididos por [tex]7[/tex]. Devemos então mostrar que existem infinitas potências de [tex]2[/tex] que deixam resto [tex]1[/tex] quando divididas por [tex]7[/tex].
Uma informação importante para demostrar esse fato é a seguinte: se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] deixam resto [tex]1[/tex] quando divididos por [tex]7[/tex], então [tex]ab[/tex] também deixa resto [tex]1[/tex] quando dividido por [tex]7[/tex]. De fato, considere números naturais [tex]q_1[/tex] e [tex]q_2[/tex] tais que [tex]a=7q_1+1[/tex] e [tex]b=7q_2+1[/tex]. Desta forma, [tex]ab=(7q_1+1)(7q_2+1)=49q_1q_2+7\cdot(q_1+q_2)+1=7\cdot(7q_1q_2+q_1+q_2)+1[/tex].
Além disso, quando multiplicamos dois números que são potências de [tex]2[/tex], o resultado é uma potência de [tex]2[/tex]. De fato, sejam [tex]a = 2^m[/tex] e [tex]b=2^n[/tex], com [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] números naturais, e veja que [tex]a\cdot b = 2^m\cdot 2^n = 2^{m+n}[/tex] é uma potência de base [tex]2[/tex].
Portanto, podemos usar o [tex]8[/tex] e o [tex]64[/tex], que deixam resto [tex]1[/tex] quando divididos por [tex]7[/tex], para construir o número [tex]8\cdot 64=512[/tex], que é potência de [tex]2[/tex] e também deixa resto [tex]1[/tex] quando dividido por [tex]7[/tex]. Com o mesmo raciocínio, podemos multiplicar o [tex]64[/tex] e o [tex]512[/tex] para construir outra potência de [tex]2[/tex] com resto [tex]1[/tex] quando dividida por [tex]7[/tex].
Seguindo com este raciocínio, podemos construir infinitas potências de [tex]2[/tex] com resto [tex]1[/tex] quando divididas por [tex]7[/tex], ou seja, infinitas potências de [tex]2[/tex] estão na progressão aritmética em questão.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.