.Problemão: Igualdade

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Mostre que na igualdade abaixo é impossível que todos os números [tex]x_1,\ x_2,\ \cdots, x_{2018}[/tex] sejam ímpares.

[tex]\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots+\dfrac{1}{x_{2018}}=1[/tex].

Solução

[tex]\textcolor{#800000}{(1)} \, [/tex] Façamos primeiro um caso mais simples, com apenas duas parcelas, para facilitar a compreensão do argumento que utilizaremos.
Considere a equação:
[tex]\qquad \qquad \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=1.\qquad\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Suponhamos, por absurdo, que existam dois números ímpares que satisfaçam a equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex]. Nessa situação, podemos realizar a seguinte operação de soma de frações:
[tex]\qquad \qquad \dfrac{x_2+x_1}{x_1\cdot x_2}=1\qquad\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
e a equação [tex]\textcolor{#800000}{(ii)} \, [/tex] é equivalente a
[tex]\qquad \qquad x_2+x_1=x_1\cdot x_2.\qquad\qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Observe a equação [tex]\textcolor{#800000}{(iii)} \, [/tex] e veja que:

• no lado esquerdo da igualdade temos a soma de dois números ímpares, o que resulta em um número par;
• no lado direito da igualdade temos o produto de números ímpares, o que resulta em um número ímpar.

Assim, a equação [tex]\textcolor{#800000}{(iii)} \, [/tex], na ótica da paridade, fica:
[tex]\qquad \qquad \underbrace{x_2+x_1}_{par}=\underbrace{x_1\cdot x_2}_{ímpar}[/tex]
o que é um absurdo, pois um número não pode ser simultaneamente par e ímpar.
Portanto, a nossa suposição de que existem dois números ímpares que satisfaçam a equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex] não pode ocorrer!

[tex]\textcolor{#800000}{(2)} \, [/tex]No caso do problema proposto, suponhamos, por absurdo, que existam [tex]2018[/tex] números ímpares que satisfaçam a equação
[tex]\\
\qquad \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots+\dfrac{1}{x_{2018}}=1.\qquad\textcolor{#800000}{(iv)}\\[/tex]
Realizando a operação de soma de frações, encontramos:

[tex]\qquad \dfrac{x_2x_3\cdots x_{2018}+x_1x_3\cdots x_{2018}+\cdots+x_1x_2\cdots x_{2017}}{x_1\cdot x_2\cdots x_{2018}}=1.\qquad\textcolor{#800000}{(v)}[/tex]

Veja que a equação [tex]\textcolor{#800000}{(v)} \, [/tex] é equivalente a:

[tex]\qquad x_2x_3\cdots x_{2018}+x_1x_3\cdots x_{2018}+\cdots+x_1x_2\cdots x_{2017}=x_1\cdot x_2\cdots x_{2018}.\qquad\textcolor{#800000}{(vi)}[/tex]

Vamos, então, observar a equação [tex]\textcolor{#800000}{(vi)} \, [/tex]:

• No lado esquerdo da igualdade temos, em cada parcela da soma, um produto de [tex]2017[/tex] números ímpares. Daí resulta que cada parcela da soma é um número ímpar. A soma de [tex]2018[/tex] números ímpares é par. Podemos concluir, dessa forma, que a soma final é par.
• No lado direito da igualdade temos o produto de [tex]2018[/tex] números ímpares, tendo como resultado um número ímpar.

Assim, a equação [tex]\textcolor{#800000}{(vi)} \, [/tex] na ótica da paridade fica:
[tex]\qquad \qquad \underbrace{ x_2x_3\cdots x_{2018}+x_1x_3\cdots x_{2018}+\cdots+x_1x_2\cdots x_{2017}}_{par}=\underbrace{x_1\cdot x_2\cdots x_{2018}}_{ímpar}[/tex]
o que é um absurdo, pois um número não pode ser simultaneamente par e ímpar.
Portanto, a nossa suposição de que existem [tex]2018[/tex] números ímpares que satisfaçam a equação dada no problema não pode ocorrer e, assim, não existem números ímpares [tex]x_1,\ x_2,\ \cdots, x_{2018}[/tex] tais que

[tex]\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots+\dfrac{1}{x_{2018}}=1 \, .[/tex]

Perceba que a questão pode ser estendida a qualquer número par de parcelas. Podemos, então, reescrever a conclusão do problema da seguinte forma:
Dado um número natural [tex]n[/tex] fixo, é impossível obter números inteiros [tex]x_1,\ x_2,\ \cdots, x_{2n}[/tex], todos ímpares, tais que

[tex]\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots+\dfrac{1}{x_{2n}}=1[/tex].

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