.Problemão: Equação Trigonométrica

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

Calcule, em radianos, a soma [tex]S[/tex] das raízes da equação [tex]\boxed{1 + \cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) = 0}[/tex], no intervalo [tex][0, \pi][/tex].

Solução 1

Nesta solução, usaremos uma das transformações de soma em produto da trigonometria:

[tex]\cos(p) + \cos(q) = 2 \cdot \cos\left(\dfrac{p + q}{2}\right) \cdot \cos\left(\dfrac{p – q}{2}\right)[/tex].

Assim, segue que:
[tex]\qquad 1 + \cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) = 0[/tex]
[tex]\qquad \cos(0) + \cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) = 0[/tex]
[tex]\qquad 2 \cdot \cos\left(\dfrac{x + 0}{2}\right) \cdot \cos\left(\dfrac{x – 0}{2}\right) + 2 \cdot \cos\left(\dfrac{3x + 2x}{2}\right) \cdot \cos\left(\dfrac{3x – 2x}{2}\right) = 0[/tex]
[tex]\qquad 2 \cdot \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \cdot \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + 2 \cdot \cos\left(\dfrac{5x}{2}\right) \cdot \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0[/tex]
[tex]\qquad 2 \cdot \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \cdot \left(\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + \cos\left(\dfrac{5x}{2}\right) \right) = 0[/tex]
[tex]\qquad 2 \cdot \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \cdot 2 \cdot \cos\left(\dfrac{\dfrac{5x}{2} + \dfrac{x}{2}}{2}\right) \cdot \cos\left(\dfrac{\dfrac{5x}{2} – \dfrac{x}{2}}{2}\right) = 0[/tex]
[tex]\qquad 4 \cdot \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \cdot \cos\left(\dfrac{3x}{2}\right) \cdot \cos(x) = 0,[/tex]
donde concluímos que
[tex]\qquad \boxed{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0}\,\,[/tex] ou [tex]\,\,\boxed{\cos\left(\dfrac{3x}{2}\right) = 0}\,\,[/tex] ou [tex]\,\,\boxed{\cos(x) = 0}[/tex]
Analisemos essas três alternativas:

[tex]\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0 \,\,\Leftrightarrow\,\, \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k \pi \,\,\Leftrightarrow\,\, x = \pi + 2k \pi[/tex]
[tex]\cos\left(\dfrac{3x}{2}\right) = 0 \,\,\Leftrightarrow\,\, \dfrac{3x}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k \pi \,\,\Leftrightarrow\,\, x = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2k \pi}{3}[/tex]
[tex]\cos(x) = 0 \,\,\Leftrightarrow\,\, x = \dfrac{\pi}{2} + k \pi[/tex].

Dessa forma, no intervalo [tex][0 , \pi][/tex], obtemos respectivamente as soluções

[tex]\boxed{x = \pi}[/tex]
[tex]\boxed{x = \dfrac{\pi}{3}}[/tex]
[tex]\boxed{x = \dfrac{\pi}{2}}[/tex]

e, portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S = \dfrac{11 \pi}{6}$}[/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

Temos a equação
[tex]1+cos(x) +cos(3x)+cos(2x)=0 \quad \color{#800000}{(i)}[/tex]
e sabemos que

[tex]cos(2 x) = cos^2 (x) – sen^2 (x)= cos^2 (x) – (1-cos^2 (x)) = 2cos^2(x) – 1. \quad \color{#800000}{(ii)}[/tex]

Substituindo [tex]\color{#800000}{(ii)}[/tex] em [tex]\color{#800000}{(i)}[/tex], obtemos:
[tex]1+cos (x) + cos (3x) + 2cos^2 (x) -1 = 0.\quad \color{#800000}{(iii)}[/tex]
Sabemos também que

[tex]cos(3x) = 4cos^3(x) – 3cos (x). \quad \color{#800000}{(iv)}[/tex]

Substituindo [tex]\color{#800000}{(iv)}[/tex] em [tex]\color{#800000}{(iii)}[/tex], obtemos:
[tex]cos (x)+2cos^2(x) + 4 cos^3 (x) – 3cos (x) =0. \quad \color{#800000}{(v)}[/tex]
Fazendo [tex]cos(x)=y[/tex] em [tex]\color{#800000}{(v)}[/tex], resulta a equação [tex] \, 4y^3 + 2y^2 – 2y =0[/tex], mas
[tex]\qquad 4y^3 + 2y^2 – 2y =0 \Leftrightarrow y( 4y^2 + 2y -2) = 0\Leftrightarrow y( 2y^2 + y -1 ) =0[/tex],
logo [tex]y=0[/tex] ou [tex]2y^2 + y-1 = 0[/tex].
A equação [tex]2y^2 + y-1 = 0[/tex] nos fornece [tex]y = 1/2[/tex] ou [tex]y = -1[/tex], logo temos as seguintes alternativas: