.Problemão: Equação Trigonométrica

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

Solução 1

• $\cos(p) + \cos(q) = 2 \cdot \cos\left(\dfrac{p + q}{2}\right) \cdot \cos\left(\dfrac{p – q}{2}\right)$.

Assim, segue que:
$\qquad 1 + \cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) = 0$
$\qquad \cos(0) + \cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) = 0$
$\qquad 2 \cdot \cos\left(\dfrac{x + 0}{2}\right) \cdot \cos\left(\dfrac{x – 0}{2}\right) + 2 \cdot \cos\left(\dfrac{3x + 2x}{2}\right) \cdot \cos\left(\dfrac{3x – 2x}{2}\right) = 0$
$\qquad 2 \cdot \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \cdot \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + 2 \cdot \cos\left(\dfrac{5x}{2}\right) \cdot \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0$
$\qquad 2 \cdot \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \cdot \left(\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + \cos\left(\dfrac{5x}{2}\right) \right) = 0$
$\qquad 2 \cdot \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \cdot 2 \cdot \cos\left(\dfrac{\dfrac{5x}{2} + \dfrac{x}{2}}{2}\right) \cdot \cos\left(\dfrac{\dfrac{5x}{2} – \dfrac{x}{2}}{2}\right) = 0$
$\qquad 4 \cdot \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \cdot \cos\left(\dfrac{3x}{2}\right) \cdot \cos(x) = 0,$
donde concluímos que
$\qquad \boxed{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0}\,\,$ ou $\,\,\boxed{\cos\left(\dfrac{3x}{2}\right) = 0}\,\,$ ou $\,\,\boxed{\cos(x) = 0}$
Analisemos essas três alternativas:

• $\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0 \,\,\Leftrightarrow\,\, \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k \pi \,\,\Leftrightarrow\,\, x = \pi + 2k \pi$
• $\cos\left(\dfrac{3x}{2}\right) = 0 \,\,\Leftrightarrow\,\, \dfrac{3x}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k \pi \,\,\Leftrightarrow\,\, x = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2k \pi}{3}$
• $\cos(x) = 0 \,\,\Leftrightarrow\,\, x = \dfrac{\pi}{2} + k \pi$.

Dessa forma, no intervalo $[0 , \pi]$, obtemos respectivamente as soluções

• $\boxed{x = \pi}$
• $\boxed{x = \dfrac{\pi}{3}}$
• $\boxed{x = \dfrac{\pi}{2}}$

e, portanto, $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S = \dfrac{11 \pi}{6}$}$.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

• $cos(2 x) = cos^2 (x) – sen^2 (x)= cos^2 (x) – (1-cos^2 (x)) = 2cos^2(x) – 1. \quad \color{#800000}{(ii)}$

Substituindo $\color{#800000}{(ii)}$ em $\color{#800000}{(i)}$, obtemos:
$1+cos (x) + cos (3x) + 2cos^2 (x) -1 = 0.\quad \color{#800000}{(iii)}$
Sabemos também que

• $cos(3x) = 4cos^3(x) – 3cos (x). \quad \color{#800000}{(iv)}$

Substituindo $\color{#800000}{(iv)}$ em $\color{#800000}{(iii)}$, obtemos:
$cos (x)+2cos^2(x) + 4 cos^3 (x) – 3cos (x) =0. \quad \color{#800000}{(v)}$
Fazendo $cos(x)=y$ em $\color{#800000}{(v)}$, resulta a equação $\, 4y^3 + 2y^2 – 2y =0$, mas
$\qquad 4y^3 + 2y^2 – 2y =0 \Leftrightarrow y( 4y^2 + 2y -2) = 0\Leftrightarrow y( 2y^2 + y -1 ) =0$,
logo $y=0$ ou $2y^2 + y-1 = 0$.
A equação $2y^2 + y-1 = 0$ nos fornece $y = 1/2$ ou $y = -1$, logo temos as seguintes alternativas:

• $cos(x) = 0$ e $x= \pi/2$
• $cos(x)=-1$ e $x = \pi$
• $cos(x)= 1/2$ e $x =\pi/3$.

Portanto, $\boxed{S = \pi/2 +\pi + \pi/3= 11\pi / 6}$

Solução elaborada pelo Clube Descendentes de Pitágoras, com contribuições dos Moderadores do Blog.