Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(Rússia) Seja a função dada por [tex]f(x)=x^2+12x+30[/tex].
Resolver a equação [tex]f(f(f(f(f(x)))))=0[/tex].
Solução
Inicialmente, veja que
[tex]\qquad f(x)=x^2+12x+30\\
\qquad f(x)=x^2+12x+30+6-6\\
\qquad f(x)=x^2+12x+36-6\\
\qquad \boxed{f(x)=(x+6)^2-6}.[/tex]
Deste modo:
[tex]\qquad f(\textcolor{red}{f(x)})=(\textcolor{red}{f(x)}+6)^2-6\\
\qquad f(\textcolor{red}{f(x)})=\left(\textcolor{red}{(x+6)^2-6}+6\right)^2-6\\
\qquad f(f(x))=\left((x+6)^2\right)^2-6\\
\qquad \boxed{f(f(x))=(x+6)^4-6}.[/tex]
Com isso:
[tex]\qquad f(f(\textcolor{red}{f(x)}))=(\textcolor{red}{f(x)}+6)^4-6\\
\qquad f(f(\textcolor{red}{f(x)}))=\left(\textcolor{red}{(x+6)^2-6}+6\right)^4-6\\
\qquad f(f(f(x)))=\left((x+6)^2\right)^4-6\\
\qquad \boxed{f(f(f(x)))=\left(x+6\right)^8-6}.[/tex]
A partir do exposto, podemos conjecturar que
[tex]\qquad f(f(f(f(f(x)))))=(x+6)^{32}-6[/tex]. (Mostre isso!)
Assim, [tex]f(f(f(f(f(x)))))=(x+6)^{32}-6=0[/tex] e, portanto, segue que:
[tex]\qquad (x+6)^{32}-6=0[/tex]
[tex]\qquad (x+6)^{32}=6[/tex]
[tex]\qquad x+6=\pm \sqrt[32]{6}[/tex]
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=-6\pm \sqrt[32]{6}$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.