Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)
Considere a equação [tex]x^2 + y^2 – 2mx – 4(m+1)y +3m + 14 = 0[/tex].
(a) Determine para que valores de [tex]m[/tex] esta equação representa uma circunferência.
(b) Determine o lugar geométrico dos centros dessas circunferências.
Propriedade que ajuda
Para resolver este problema é preciso utilizar um procedimento algébrico conhecido como completamento de quadrado. Esse procedimento responde basicamente à seguinte pergunta:
Se [tex]a[/tex] é um número real não nulo, qual o valor de [tex]k[/tex] que devemos somar à expressão [tex]x^2+ax[/tex] de modo a obter um quadrado perfeito?
Se você não conhece ou não se lembra desse processo, clique no botão abaixo antes de ler a solução.
Solução do problema
Inicialmente, vamos fazer dois completamentos quadrados na expressão do enunciado:
[tex]\quad x^2 + y^2 – 2mx – 4(m+1)y +3m + 14 = 0[/tex]
[tex]\quad x^2 + y^2 – 2mx – 4(m+1)y =-3m – 14[/tex]
[tex]\quad (x-2mx+m^2)+(y-4(m+1)y+4(m+1)^2)=m^2+4(m+1)^2-3m-14[/tex]
[tex]\quad (x-m)^2+(y-2(m+1))^2=m^2+4(m+1)^2-3m-14[/tex]
[tex]\quad (x-m)^2+(y-2(m+1))^2=m^2+4(m^2+2m+1)-3m-14[/tex]
[tex]\quad (x-m)^2+(y-2(m+1))^2=5m^2+5m-10[/tex]
[tex]\quad (x-m)^2+(y-2(m+1))^2=5(m+2)(m-1). \qquad \qquad (i)[/tex]
(a) Para que a equação [tex](i)[/tex] corresponda a uma circunferência, devemos ter [tex]5(m+2)(m-1) \gt 0[/tex], ou seja, [tex](m+2)[/tex] e [tex](m-1)[/tex] ambos negativos ou ambos positivos. Assim,
- [tex]m + 2 \gt 0\,[/tex] e [tex]\,m – 1 \gt 0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,m \gt -2\,[/tex] e [tex]\,m \gt 1\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,m \gt 1[/tex];
ou
- [tex]m + 2 \lt 0\,[/tex] e [tex]\,m – 1 \lt 0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,m \lt -2\,[/tex] e [tex]\,m \lt 1\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,m \lt -2[/tex];
e, deste modo, a equação fornecida representa uma circunferência se, e somente se, [tex]m \lt -2[/tex] ou [tex]m \gt 1[/tex].
(b) Para cada [tex]m[/tex] fixado, o centro da circunferência estará no ponto [tex](m,2(m+1))[/tex], ou seja, o lugar geométrico dos centros é a reta [tex]y=2(x+1)[/tex], sem o segmento que une os pontos [tex](-2,-2)[/tex] e [tex](1,4)[/tex] (segmento que seria correspondente a [tex]m\in[-2,1][/tex], quando não temos uma circunferência).
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Um aplicativo para ajudar…
O aplicativo mostra uma animação com parte do lugar geométrico a ser determinado no item (b) do problema.
Instruções:
1) Aguarde o aplicativo carregar completamente.
2) Clique no ícone ► que aparece no canto inferior esquerdo do aplicativo. Você poderá observar os centros de várias das circunferências definidas pela equação [tex]x^2 + y^2 – 2mx – 4(m+1)y +3m + 14 = 0[/tex]. Essas circunferências serão determinadas a partir de alguns valores de [tex]m[/tex]; assim, lembre-se de que para valores de [tex]m[/tex] tais que [tex]m\in[-2,1][/tex] a equação em questão não define circunferências.
3) Para parar a animação, basta clicar no ícone || que aparece no canto inferior esquerdo do aplicativo durante a animação.
4) Para reiniciar a construção, clique nas setinhas que aparecem no canto superior direito do aplicativo.
OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra