Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(OBM) Determine todos os pares [tex](x,y)[/tex] de números naturais tais que [tex]2(x+y)+xy=x^2+y^2[/tex].
Solução
A partir da igualdade fornecida no problema, segue que:
[tex]\qquad 2(x+y)+xy=x^2+y^2[/tex]
[tex]\qquad x^2+y^2-2x-2y-xy=0[/tex]
[tex]\qquad 2x^2+2y^2-4x-4y-2xy=0[/tex]
[tex]\qquad x^2-4x+4+y^2-4y+4+x^2-2xy+y^2=4+4[/tex]
[tex]\qquad (x-2)^2+(y-2)^2+(x-y)^2=8 \, .\qquad \textcolor{#800000}{(eq_1)}[/tex]
Agora, como [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] são números naturais, a partir da equação [tex]\textcolor{#800000}{(eq_1)}[/tex], temos três casos a considerar:
[tex]\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\mathbf(x-2)^2 & (y-2)^2 & (x-y)^2 \\ \hline
4 & \mathbf 4 & 0 \\ \hline
\mathbf 4 & 0 & 4 \\ \hline
0 & \mathbf 4 & 4 \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] No primeiro caso temos:
- [tex](x-2)^2=4 \, [/tex], donde [tex]x=0[/tex] ou [tex]x=4 \, [/tex],
- [tex](y-2)^2=4 \, [/tex], donde [tex]y=0[/tex] ou [tex]y=4 \, [/tex],
- [tex](x-y)^2=0 \, [/tex], donde [tex]x=y \, .[/tex]
Daí, teremos dois pares: [tex](0,0)[/tex] e [tex](4,4)[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] No segundo caso temos:
- [tex](x-2)^2=4 \, [/tex], donde [tex]x=0[/tex] ou [tex]x=4 \, [/tex],
- [tex](y-2)^2=0 \, [/tex], donde [tex]y=2 \, [/tex],
- [tex](x-y)^2=4 \, [/tex], donde [tex]x-y=2[/tex] ou [tex]x-y=-2 \, [/tex],
o que resulta em dois pares: [tex](4,2)[/tex] e [tex](0,2)[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] No terceiro caso temos:
- [tex](x-2)^2=0 \, [/tex], donde [tex]x=2 \, [/tex],
- [tex](y-2)^2=4 \, [/tex], donde [tex]y=0[/tex] ou [tex]y=4 \, [/tex],
- [tex](x-y)^2=4[/tex], donde [tex]x-y=2[/tex] ou [tex]x-y=-2 \, .[/tex]
Obtemos, então, mais dois pares: [tex](2,4)[/tex] e [tex](2,0) \, .[/tex]
Portanto, existem [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$6$} \, [/tex] pares de números naturais que satisfazem a igualdade proposta no problema.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.