Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Encontre um polinômio divisível por [tex]x^2+1[/tex] e que deixa resto [tex]1[/tex] quando dividido por [tex]x^2+x+1[/tex].
Extraído de 21 aulas de Matemática Olímpica.
Solução
O polinômio buscado deve ser da forma [tex]p(x)(x^2+1)[/tex], onde [tex]p(x)[/tex] é um polinômio. Além disso, deve ser da forma [tex]q(x)(x^2+x+1)+1[/tex], onde [tex]q(x)[/tex] também é um polinômio. Assim,
[tex]\qquad p(x)(x^2+1)=q(x)(x^2+x+1)+1[/tex]
[tex]\qquad p(x)(x^2+1)=q(x)(x^2+1)+q(x)x+1[/tex]
[tex]\qquad (p(x)-q(x))(x^2+1)=q(x)x+1.[/tex]
Perceba que uma escolha razoável respeitando a igualdade acima é considerar [tex]p(x)-q(x)=1[/tex] e [tex]q(x)=x[/tex]. Assim, [tex]p(x)=x+1[/tex] e um polinômio que cumpre os requisitos do enunciado é [tex]p(x)(x^2+1)=(x+1)(x^2+1)=x^3+x^2+x+1[/tex]. De fato, além de ser divisível por [tex]x^2+1[/tex], temos [tex]x^3+x^2+x+1=x(x^2+x+1)+1[/tex], ou seja, este polinômio deixa resto [tex]1[/tex] quando dividido por [tex]x^2+x+1[/tex].
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