Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
A cada produto disponível para venda nos supermercados brasileiros está associado um número único de treze dígitos, que geralmente encontra-se abaixo de uma sequência de barras verticais impressas no produto. A sequência de barras é a representação gráfica do número associado ao produto.
Esse número de treze algarismos associado a um produto é tal que "a soma dos dígitos das suas posições ímpares com os triplos dos dígitos das suas posições pares seja divisível por dez".
Assim, se o número associado a um produto que retiramos da prateleira de um supermercado for
[tex]\boxed{a_1\,a_2\,a_3\,a_4\,a_5\,a_6\,a_7\,a_8\,a_9\,a_{10}\,a_{11}\,a_{12}\,a_{13}}[/tex]
a soma
[tex]a_1+3a_2+a_3+3a_4+a_5+3a_6+a_7+3a_8+a_9+3a_{10}+a_{11}+3a_{12}+a_{13}[/tex]
é divisível por [tex]10.[/tex]
O sistema de associação de um produto a um código único de treze dígitos aqui descrito é conhecido como EAN-13 (sigla de European Article Number) e serve para evitar fraudes ou erros de digitação. Um código que não satisfaça a condição de "a soma dos dígitos das suas posições ímpares com os triplos dos dígitos das suas posições pares ser divisível por dez" é dito um código não válido no sistema EAN-13.
Como esse sistema é pura Matemática, justifique a seguinte afirmação:
- Se um dos treze dígitos do número associado a um item comercial for substituído por outro dígito, então o novo número não será válido.
Solução
Seja [tex]a_1a_2\dots a_{12}a_{13}[/tex] o número de treze dígitos associado a um determinado item comercial. Como este é um número válido no sistema EAN-13, então a soma
[tex]\qquad \boxed{a_1+3a_2+a_3+3a_4+a_5+3a_6+a_7+3a_8+a_9+3a_{10}+a_{11}+3a_{12}+a_{13}}[/tex]
é divisível por [tex]10[/tex].
Suponhamos que o dígito [tex]a_i[/tex] da posição [tex]i[/tex] seja substituído por um dígito [tex]b_i[/tex]. Temos, então, dois casos a considerar:
- A posição [tex]i[/tex] é ímpar.
Observe que o novo código [tex]a_1a_2\dots b_i\dots a_{12}a_{13}[/tex] será válido se o número
[tex]\qquad \boxed{a_1+3a_2+\dots+b_i+\dots +3 a_{12}+a_{13}}[/tex]
for divisível por [tex]10 \, .[/tex]
Como a diferença entre inteiros divisíveis por [tex]10[/tex] é um número também divisível por [tex]10[/tex], temos que
[tex]\qquad (a_1+3a_2+\dots+b_i+\dots +3 a_{12}+a_{13})\\
\qquad -(a_1+3a_2+\dots+a_i+\dots +3 a_{12}+a_{13})=(b_i-a_i)[/tex]
será divisível por [tex]10 \, .[/tex]
Sendo o número [tex]b_i-a_i[/tex] divisível por [tex]10[/tex], como [tex]a_i[/tex] e [tex]b_i[/tex] são dígitos, isto ocorrerá apenas quando [tex]a_i=b_i[/tex]. - A posição [tex]i[/tex] é par.
De forma semelhante ao caso anterior, o novo código [tex]a_1a_2\dots b_i\dots a_{12}a_{13}[/tex] será válido quando o número
[tex]\qquad \boxed{a_1+3a_2+\dots+3b_i+\dots +3 a_{12}+a_{13}}[/tex]
for divisível por [tex]10[/tex].
Desta maneira, a diferença entre os números divisíveis por [tex]10[/tex]
[tex]\qquad (a_1+3a_2+\dots+3b_i+\dots +3 a_{12}+a_{13})\\
\qquad -(a_1+3a_2+\dots+3a_i+\dots +3 a_{12}+a_{13})=3(b_i-a_i)[/tex]
também será divisível por [tex]10[/tex].
Como o número [tex]3(b_i-a_i)[/tex] é divisível por [tex]10[/tex] e o máximo divisor comum de [tex]3[/tex] e [tex]10[/tex] é [tex]1[/tex], então o número [tex]b_i-a_i[/tex] é necessariamente divisível por [tex]10 \, .[/tex] Mas [tex]a_i[/tex] e [tex]b_i[/tex] são dígitos, então o número [tex]3(b_i-a_i)[/tex] será divisível por [tex]10[/tex] apenas quando [tex]a_i=b_i[/tex].
Assim, a substituição do dígito [tex]a_i[/tex] pelo dígito [tex]b_i[/tex] produzirá um código ainda válido apenas se [tex]a_i=b_i[/tex] e, portanto, a substituição de um dígito [tex]a_i[/tex] por um dígito diferente [tex]b_i[/tex] não gera um código válido.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.