.Problemão: Divisibilidade por 3

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Problema
(Indicado a partir do 1ª série do E. M.)

Mostre que para qualquer número inteiro

$n$ a expressão

$n^{3}+3n^{2}+5n+3$ sempre será divisível por

$3$ .

Extraído de Lidski.

Lembrete

Em um produto com três números inteiros consecutivos, podemos garantir que um dos fatores é divisível por $3$ .

Solução

Para um número inteiro

$n$ , seja

$E=n^{3}+3n^{2}+5n+3$ e observe que:

A expressão $E=n^{3}+3n^{2}+5n+3$ pode ser escrita como $E=n^{3}+3n^{2}+2n+3n+3$ .
Colocando o fator $n$ em evidência nas três primeiras parcelas de $E$ e o $3$ nas duas últimas, obtemos
$\qquad E= n\cdot(n^{2}+3n+2)+3\cdot(n+1)$
Podemos, ainda, fatorar o polinômio do segundo grau $n^{2}+3n+2$ na forma $(n+1)\cdot (n+2)$ . Assim, temos:
$\qquad E=n\cdot(n+1)\cdot(n+2)+3\cdot(n+1)$

Nessa última forma da expressão $E$ , chegamos a uma soma na qual a primeira parcela é um produto de três números inteiros consecutivos: claramente a segunda parcela é divisível por três e, pelo Lembrete, podemos concluir que a primeira parcela também o é.
Portanto, como a soma de dois inteiros divisíveis por $3$ é também divisível por $3$ (Consegue verificar isso?), concluímos que para qualquer inteiro $n$ a expressão $E$ é divisível por $3$ .

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.