Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Sabendo que [tex]x=2021^3-2019^3[/tex], determine o valor de [tex]\sqrt{\dfrac{x-2}{6}}[/tex].
Adaptado de Instagram Mathceyhun.
Lembrete
A fatoração notável “diferença de cubos” é dada por [tex]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).[/tex]
Solução
Vamos reescrever a expressão da seguinte forma:
[tex]\qquad x=2021^3-2019^3=(2021-2019) \cdot (2021^2+2021 \cdot 2019+2019^2)[/tex]
[tex]\qquad x=2 \cdot ((2020+1)^2+(2020+1) \cdot (2020-1)+(2020-1)^2)[/tex].
Em seguida, substituímos [tex]2020[/tex] por [tex]y[/tex]. Logo, temos:
[tex]\qquad x=2 \cdot ((y+1)^2+(y+1) \cdot (y-1)+(y-1)^2)[/tex]
[tex]\qquad x=2 \cdot (y^2+2y+1+y^2-1+y^2-2y+1)[/tex]
[tex]\qquad x=2 \cdot (3y^2+1)[/tex].
Agora, vamos substituir esta expressão e o valor de [tex]y[/tex] na expressão buscada, obtendo:
[tex]\qquad \sqrt{\dfrac{x-2}{6}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot(3y^2+1)-2}{6}}=\sqrt{\dfrac{6y^2+2-2}{6}}=\sqrt{\dfrac{6y^2}{6}}=\sqrt{y^2}=\sqrt{2020^2}=2020[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.