Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Sabendo que
[tex]\qquad \qquad x=\sqrt[4]{27\sqrt[4]{27\sqrt[4]{27\sqrt[4]{27\sqrt[4]{27\cdots}}}}} \, [/tex].
é um número real positivo, determine seu valor.
Solução
Podemos reescrever [tex]x[/tex] como:
[tex]\qquad \qquad x=\left(27\sqrt[4]{27\sqrt[4]{27\sqrt[4]{27\sqrt[4]{27\cdots}}}}\right)^{\frac{1}{4}} \, [/tex]
[tex]\qquad \qquad x=\left(27\left(27\sqrt[4]{27\sqrt[4]{27\sqrt[4]{27\cdots}}}\right)^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{4}} \, [/tex]
[tex]\qquad \qquad x=\left(27\left(27\left(27\sqrt[4]{27\sqrt[4]{27\cdots}}\right)^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{4}} \, [/tex]
[tex]\qquad \qquad x=\left(27\left(27\left(27\left(27\sqrt[4]{27\cdots}\right)^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{4}} \, [/tex]
[tex]\qquad \qquad x=27^{\frac{1}{4}}\times 27^{\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}}\times 27^{\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{4}}\times 27^{\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{4}}\times \cdots \, [/tex].
Assim, temos que:
[tex]\qquad \qquad x=27^{\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^3+\left(\frac{1}{4}\right)^4+\cdots} \, .\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Observe que o expoente é a soma de infinitos termos de uma Progressão Geométrica de razão [tex]\frac{1}{4}[/tex]; logo, a P.G. converge e a soma dos seus termos é dada por:
[tex]\qquad \qquad \boxed{\dfrac{1}{4}+\left(\dfrac{1}{4}\right)^2+\left(\dfrac{1}{4}\right)^3+\left(\dfrac{1}{4}\right)^4+\cdots}=\dfrac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{4}{3}=\boxed{\dfrac{1}{3}} \, .[/tex]
Então, de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad \qquad x=27^{\frac{1}{3}}=(3^3)^\frac{1}{3}=3^{\left(3\times\frac{1}{3}\right)}=3^1=3[/tex].
Portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=3$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.