Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(Mackenzie-SP, 2008 – Adaptado) Na figura, o quadrado ABCD é formado por 9 quadrados congruentes.
Determine a quantidade de triângulos distintos que podem ser construídos a partir dos 16 pontos.
Solução
Um triângulo é definido por três pontos (não colineares). Assim, precisamos determinar a quantidade de maneiras de selecionarmos três pontos não colineares no quadrado ABCD.
Repare que o total de agrupamentos de 3 pontos é dado por C316=560, incluídos os agrupamentos com pontos colineares.
Agora vamos calcular o total de agrupamentos com três pontos colineares:
Existem 4 linhas, 4 colunas e 2 diagonais, cada uma com 4 pontos colineares. Cada uma dessas gera um total de C34=4 agrupamentos de três pontos colineares. Logo, contabilizamos 10×4=40 agrupamentos de três pontos colineares.
Existem ainda 4 diagonais com três pontos colineares cada (conforme figura abaixo), o que resulta em outros 4 agrupamentos de três pontos colineares.
Portanto, o total de triângulos que podem ser construídos é de 560−(40+4)=516.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.