Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Uma usina comprou 2000 litros de leite puro e então retirou certo volume V desse leite para produção de iogurte, substituindo esse volume por água em igual quantidade. Em seguida, retirou novamente o mesmo volume V da mistura e novamente substituiu por água em igual quantidade. Sabendo que na mistura final há exatamente 1125 litros de leite, determine o valor de V.
Extraído da XXIV OBM.
Solução
No início tínhamos 2000 litros apenas de leite.
- Após a primeira retirada e o complemento com água, ficamos com 2000−V litros de leite e V litros de água. Vamos supor que haverá uma mistura homogênea entre o leite e a água.
- Na segunda retirada de um volume V, não estaremos retirando apenas leite, mas a mistura de leite e água. Indicaremos por x o volume de leite retirado neste segundo momento.
Como a mistura é homogênea, na segunda retirada a concentração de leite no volume V extraído da mistura é igual à concentração de leite existente na mistura, ou seja:
xV=2000−V2000
x=2000⋅V–V22000.
Assim, após a segunda retirada, restou apenas (2000−V)−2000V−V22000 litros de leite.
Sabendo que na mistura final há exatamente 1125 litros de leite, segue que
- (2000−V)−2000⋅V−V22000=1125
2000⋅(2000−V)−(2000⋅V−V2)2000=1125
2000⋅(2000−V)−V⋅(2000−V)2000=1125
(2000−V)⋅(2000−V)2000=1125
(2000−V)22000=1125
(2000−V)2=1125⋅2000
(2000−V)2=2250000
√(2000−V)2 =√2250000
|2000−V|=1500
2000−V=±1500.
Como estamos lidando com quantidades de leite, então 2000−V≥0 e assim 2000−V=1500.
Portanto, concluímos que \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$V = 500\,\,litros$} \,.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão do problema o Clube: Math Error.