Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Sejam
[tex]\qquad \qquad D=\left[\begin{array}{ccc} 2 &0&0\\0&-3&0\\0&0&4\end{array}\right]\qquad [/tex]
[tex]\qquad \qquad P=\left[\begin{array}{ccc} 3 &0&-1\\0&5&0\\3&0&4\end{array}\right][/tex]
e considere
[tex]\qquad \qquad A=P^{-1}DP.[/tex]
Determine [tex]det(A^2+A)[/tex].
Solução
Em vez de calcularmos a matriz [tex]A[/tex], a matriz [tex]A^2[/tex], a matriz [tex]A^2+A[/tex] e depois o determinante desta última, iremos aplicar duas propriedades de matrizes quadradas quaisquer para simplificar as contas. Tal procedimento é útil em situações com matrizes como as do enunciado.
- Teorema de Binet: Se [tex]M[/tex] e [tex]N[/tex] são matrizes quadradas de mesma ordem, então
[tex]\qquad \qquad \boxed{det(M\cdot N)=det (M)\cdot det(N)} \, .[/tex] - Se [tex]M[/tex] é uma matriz quadrada cujo determinante é diferente de zero, então
[tex]\qquad \qquad \boxed{det(M^{-1})=\dfrac{1}{det(M)}}.[/tex]
Vamos lá! Temos que:
[tex]\qquad A^2=A\cdot A=\left(P^{-1}DP\right)\cdot\left( P^{-1}DP\right)=P^{-1}D(PP^{-1})DP=P^{-1}D^2P[/tex]
logo:
[tex]\qquad A^2+A=P^{-1}D^2P+P^{-1}DP=P^{-1}(D^2+D)P[/tex].
Assim, utilizando as duas propriedades citadas, segue que:
[tex]\qquad \begin{align*} det(A^2+A)&=det(P^{-1}(D^2+D)P)\\
&=det(P^{-1})\cdot det(D^2+D)\cdot det(P)\\
&=\dfrac{1}{\cancel{det(P)}}\cdot det(D^2+D)\cdot \cancel{det(P)}\\
&=det(D^2+D) \, . \end{align*}[/tex]
Agora, observe que:
[tex]\qquad D^2+D=\left[\begin{array}{ccc} 4 &0&0\\0&9&0\\0&0&16\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc} 2 &0&0\\0&-3&0\\0&0&4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 6 &0&0\\0&6&0\\0&0&20\end{array}\right][/tex],
e como [tex]D^2+D[/tex] é uma matriz diagonal, tem-se que:
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$det(A^2+A)$}=det(D^2+D)=6\times 6\times 20=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$720$} \, .[/tex]
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