Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Um comerciante comprou uma caixa de garrafas de vinhos importados por R$ 1.000,00
Após retirar 4 garrafas, o comerciante vendeu a caixa de vinhos pelo mesmo preço que pagou, o que fez aumentar o preço da dúzia de garrafas em R$ 100,00.
Quantas garrafas havia na caixa original?
(Adaptado da Revista da Olimpíada, nº2 – 2001.)
Solução
Seja [tex]n[/tex] o número de garrafas na caixa original e [tex]p[/tex] o preço inicial de cada garrafa. Desse modo, a seguinte equação representa a compra feita pelo comerciante:
[tex]\qquad p\times n=1000.\qquad \textcolor{#800000}{(i)} [/tex]
Com a retirada das [tex]4[/tex] garrafas e a venda da caixa com as garrafas restantes pelo mesmo preço pago pela caixa original, o preço da dúzia de garrafas aumentou [tex]R\$\, 100,00[/tex] e, consequentemente, o preço de cada garrafa aumentou [tex]R\$\, \dfrac{100,00}{12}[/tex]. Com isso, a equação que representa a venda feita pelo comerciante é a seguinte:
[tex]\qquad (n-4)\times \left(p+ \dfrac{100}{12}\right)=1000.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
De [tex] \textcolor{#800000}{(i)} [/tex], temos que [tex]\boxed{p=\dfrac{1000}{n}}[/tex]; assim, de [tex] \textcolor{#800000}{(ii)} [/tex], segue que:
[tex]\qquad (n-4)\times \left(\dfrac{1000}{n}+ \dfrac{100}{12}\right)=1000 \\
\qquad 1000+ \dfrac{25n}{3}-\dfrac{4000}{n}-\dfrac{100}{3}=1000 \\
\qquad \cancel{1000}+ \dfrac{25n}{3}-\dfrac{4000}{n}-\dfrac{100}{3}= \cancel{1000}\\
\qquad \dfrac{25n}{3}-\dfrac{4000}{n}-\dfrac{100}{3}=0 [/tex]
[tex]\qquad 25n^2-12000-100n=0 [/tex]
[tex]\qquad n^2-4n-480=0.[/tex]
Resolvendo essa última equação, encontramos:
[tex]\qquad n=\dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot (-480)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{4 \pm 44}{2}[/tex],
donde concluímos que [tex]n=-20[/tex] ou [tex]n=24[/tex].
Mas observe que a variável [tex]n[/tex] representa a quantidade de garrafas compradas pelo comerciante; assim, a solução [tex]n=-20[/tex] não convém.
Logo, a quantidade inicial de garrafas era [tex]24[/tex].
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