.Problemão: Bagunçando a mesa do jogo

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

(Apostila pH – Adaptado) Em um jogo, muito parecido com a sinuca brasileira, as bolas devem, inicialmente, ser arrumadas exatamente nas posições indicadas na mesa que aparece na figura, obedecendo também à ordem das cores.

Bruno, que não conhece muito bem as regras desse jogo, foi jogar uma partida com seu irmão e arrumou aleatoriamente as bolas nos locais sinalizados. Sabendo que ele conhece apenas a posição correta da bola branca e que ele errou todas as disposições das outras bolas, de quantos modos Bruno pode ter arrumado a mesa?

Solução

Antes de ler a solução, seria interessante você passar nesta Sala de Estudo e aprender um pouco sobre Permutação Caótica (Desarranjo).
Após a leitura do material da Sala, fica claro que o problema é na verdade um problema de Permutação Caótica e, para resolvê-lo, basta calcularmos $D_{7}$:
$\qquad D_{7}=7!\cdot \left [\dfrac{1}{0!}-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}-\dfrac{1}{5!}+\dfrac{1}{6!}-\dfrac{1}{7!} \right]\,.$

Assim, Bruno pode ter arrumado a mesa do jogo de $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1\,854$}\,$ maneiras diferentes. (E todas erradas!)

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.